Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{3}}{1+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{3}}{1 + y^{2}}.
O conteúdo é equações diferenciais de variáveis separáveis, ou seja, vamos tomar todos os y de um lado e todos os x do outro para integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por (1+y^{2})\,dx:
(1 + y^{2})\,dy = x^{3}\,dx.

Passo 3

Integre os dois lados:
\int (1 + y^{2})\,dy = \int x^{3}\,dx.
No lado esquerdo
\int (1 + y^{2})\,dy = \int 1\,dy + \int y^{2}\,dy = y + \frac{y^{3}}{3},
e no direito
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Não esqueça de adicionar a constante de integração C.

Passo 4

Reúna os resultados das integrais para obter a solução geral implícita:
y + \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{4}}{4} + C.
Essa é a família de curvas que resolve a equação original.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y + \frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{4}}{4} + C,
com C constante de integração.

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