Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis:
\frac{d y}{d x}=y \ln x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = y \ln x
Trata-se de uma equação diferencial separável, pois podemos escrever todos os termos em y de um lado e em x do outro. Para isso, vamos usar a técnica de separar variáveis e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando y junto de dy e x junto de dx. Supondo y\neq0 e x>0 (para que \ln x esteja definido), temos
\frac{1}{y}\,dy = \ln x \,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \ln x \,dx.
No lado esquerdo, \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \ln\lvert y\rvert.
No lado direito, usamos integração por partes: seja u = \ln x, dv = dx, então du = \frac{1}{x}dx e v = x. Assim,
\int \ln x \,dx = x\ln x - \int x\cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x.

Passo 4

Igualando as integrais e incluindo a constante de integração C, obtemos
\ln\lvert y\rvert = x\ln x - x + C.
Para isolar y, aplicamos exponencial em ambos os lados:
\lvert y\rvert = e^{\,x\ln x - x + C} = e^{C}\,e^{\,x\ln x - x}.
Definindo K = \pm e^{C} como constante arbitrária, temos
y = K\,e^{\,x\ln x - x}.

Passo 5

Reescrevendo e^{\,x\ln x} como x^x, a solução geral fica
y(x) = K\,x^x\,e^{-x},
com K constante real e x>0.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = K\,x^x\,e^{-x},\quad K\in\mathbb{R},\;x>0.

Exercícios relacionados