Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Trata-se de uma equação diferencial separável, pois podemos escrever todos os termos em
de um lado e em
do outro. Para isso, vamos usar a técnica de separar variáveis e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Separamos as variáveis colocando
junto de
e
junto de
. Supondo
e
(para que
esteja definido), temos
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
No lado esquerdo,
.
No lado direito, usamos integração por partes: seja ,
, então
e
. Assim,
No lado direito, usamos integração por partes: seja
Passo 4
Igualando as integrais e incluindo a constante de integração
, obtemos
Para isolar
, aplicamos exponencial em ambos os lados:
Definindo
como constante arbitrária, temos
Passo 5
Reescrevendo
como
, a solução geral fica
com
constante real e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é