Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis:
\frac{d y}{d x}=e^{x+y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem separável
\frac{dy}{dx} = e^{x+y}
O conteúdo é resolução de equações diferenciais separáveis: vamos isolar y de um lado e x do outro e depois integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis usando e^{x+y}=e^x e^y, de modo que
\frac{dy}{dx} = e^x e^y \quad\Longrightarrow\quad e^{-y}\,dy = e^x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int e^{-y}\,dy = \int e^x\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\,e^{-y} = e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos y. Primeiro, multiplicamos por -1 e renomeamos a constante:
e^{-y} = -\,e^x - C = C_1 - e^x,
com C_1=-C. Em seguida, aplicamos logaritmo:
-y = \ln\bigl(C_1 - e^x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = -\ln\bigl(C_1 - e^x\bigr).

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = -\ln\bigl(C - e^x\bigr),
onde C é constante arbitrária.

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