Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis:
\frac{d y}{d x}=\frac{\cos x}{y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{y^{2}}
O conteúdo aqui é ODE separável: vamos isolar y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por y^{2} e por dx para separar as variáveis:
y^{2}\,\frac{dy}{dx} = \cos x
y^{2}\,dy = \cos x\,dx

Passo 3

Integramos lado a lado:
\int y^{2}\,dy = \int \cos x\,dx
No lado esquerdo
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3},
e no direito
\int \cos x\,dx = \sin x + C,
onde C é a constante de integração. Assim obtemos
\frac{y^{3}}{3} = \sin x + C.

Passo 4

Multiplicamos por 3 e isolamos y:
y^{3} = 3\sin x + C_{1},
onde C_{1}=3C é outra constante arbitrária. Finalmente, a solução geral em forma explícita é
y = \bigl(3\sin x + C_{1}\bigr)^{1/3}.

Resposta

y = \bigl(3\sin x + C_{1}\bigr)^{1/3},
com C_{1} constante de integração.

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