Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis:
\frac{d y}{d x}=\sqrt{x} y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem separável
\frac{dy}{dx} = \sqrt{x}\,y.
O conteúdo aqui é separação de variáveis e integração de ambas as partes.

Passo 2

Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por y (supondo y\neq0) e multiplicamos por dx, obtendo
\frac{1}{y}\,dy = \sqrt{x}\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int x^{\tfrac12}\,dx.
A integral do lado esquerdo é \ln|y| e a do direito é
\int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} + C_1.
Portanto
\ln|y| = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} + C_1.

Passo 4

Para isolar y, aplicamos exponencial nas duas partes:
|y| = e^{\ln|y|} = e^{\tfrac{2}{3}x^{\tfrac32} + C_1} = e^{C_1}\,e^{\tfrac{2}{3}x^{\tfrac32}}.
Chamando C = \pm e^{C_1}, obtemos a solução geral
y = C\,e^{\tfrac{2}{3}x^{\tfrac32}},
onde C é constante arbitrária real (inclui a solução trivial y=0).

Resposta

y = C\,e^{\tfrac{2}{3}x^{\tfrac32}},\quad C\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados