Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis:
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x}}{y \cos y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial separável
\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{y\cos y}.
Como é separável, a ideia é agrupar termos em y com dy e termos em x com dx.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por y\cos y e por dx, obtendo a forma separada
y\cos y\,dy = e^x\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int y\cos y\,dy \;=\; \int e^x\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int y\cos y\,dy, usamos integração por partes. Seja
u = y,\quad dv = \cos y\,dy
então
du = dy,\quad v = \sin y.
Assim,
\int y\cos y\,dy = y\sin y - \int \sin y\,dy = y\sin y + \cos y + C_1.
Do outro lado,
\int e^x\,dx = e^x + C_2.

Passo 5

Igualamos as duas antiderivadas e unificamos as constantes em uma só C:
y\sin y + \cos y = e^x + C.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
y\sin y + \cos y = e^x + C.

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