Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis:
\frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{y}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem separável
\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{y}}{x^{2}+1}
e pede a solução geral. Aqui vamos usar a técnica de separação de variáveis: colocar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro, e depois integrar.

Passo 2

Isolando as variáveis, dividimos ambos os lados por \sqrt{y} e multiplicamos por dx, obtendo
\frac{1}{\sqrt{y}}\,dy = \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. De um lado temos
\int \frac{1}{\sqrt{y}}\,dy = \int y^{-\tfrac12}\,dy = 2\sqrt{y},
e do outro
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando os resultados das integrais, fica
2\sqrt{y} = \arctan(x) + C.
Isolando \sqrt{y} e elevando ao quadrado, obtemos
\sqrt{y} = \frac{\arctan(x) + C}{2}, \quad y = \left(\frac{\arctan(x) + C}{2}\right)^{2}.

Resposta

y(x) = \frac{\bigl(\arctan(x) + C\bigr)^{2}}{4},
onde C é a constante de integração.

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