Resolva as seguintes inequações:
\frac{x-2 x^{2}}{x-1} \geqslant 0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{x - 2x^{2}}{x-1} \ge 0.
O conteúdo é análise de sinal de expressão racional. Vamos precisar de (1) domínio da função, (2) raízes do numerador, (3) valor que anula o denominador, e (4) estudo de sinais em cada intervalo.

Passo 2

Determinamos o domínio excluindo quem zera o denominador. Como o denominador é x-1, temos
x \neq 1.

Passo 3

Fatoramos o numerador x - 2x^2:
x - 2x^2 = x\,(1 - 2x).
As raízes do numerador são
x = 0 \quad\text{e}\quad 1 - 2x = 0 \;\Rightarrow\; x = \tfrac12.

Passo 4

Os pontos críticos são então x=0, x=\tfrac12 (zeros do numerador) e x=1 (zero do denominador). Isso divide a reta em quatro intervalos:
(-\infty,0),\;(0,\tfrac12),\;(\tfrac12,1),\;(1,\infty).
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e analisamos o sinal de numerador e denominador:
  1. Em x<0 (p.ex. x=-1): numerador x(1-2x) é (-)\times(+)=(-), denominador (-1)-1=(-). Quociente (-) / (-) = (+).
  2. Em 0<x<\tfrac12 (p.ex. x=0,25): numerador (+)\times(+)= (+), denominador 0{,}25-1=(-). Quociente (+) / (-) = (-).
  3. Em \tfrac12<x<1 (p.ex. x=0,75): numerador (+)\times(1 - 2\cdot0{,}75)= (+)\times(-)=(-), denominador 0{,}75-1=(-). Quociente (-) / (-) = (+).
  4. Em x>1 (p.ex. x=2): numerador 2(1-4)=2\times(-)=(-), denominador 2-1=(+). Quociente (-) / (+) = (-).

Passo 5

Queremos onde o quociente é não negativo, isto é, positivo ou zero. Pelos testes, ele é positivo em
(-\infty,0)\quad\text{e}\quad(\tfrac12,1),
e é zero exatamente onde o numerador zera, ou seja em x=0 e x=\tfrac12. O ponto x=1 fica excluído.

Resposta

A solução da inequação é
(-\infty,0]\;\cup\;[\tfrac12,1).

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