Resolva as seguintes inequações:
|x-3|<|3 x-1|.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
|x - 3| < |3x - 1|.
Isso envolve manipular expressões do tipo |A|<|B|. A ideia principal é usar que, para dois números reais A e B, ambos não negativos, vale
|A|<|B|\quad\Longleftrightarrow\quad A^2 < B^2.
Assim, vamos elevar ao quadrado cada lado e resolver a inequação resultante.

Passo 2

Aplicando a regra de elevação ao quadrado, obtemos
(x - 3)^2 < (3x - 1)^2.

Passo 3

Agora expandimos cada quadrado:
(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9,
(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1.
Subtraindo o primeiro membro do segundo, a inequação vira
x^2 - 6x + 9 < 9x^2 - 6x + 1 \;\Longrightarrow\; 0 < 9x^2 - 6x + 1 - (x^2 - 6x + 9).

Passo 4

Simplificando o lado direito:
9x^2 - 6x + 1 - x^2 + 6x - 9 = 8x^2 - 8.
Logo a inequação é
0 < 8x^2 - 8.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 8>0, fica
0 < x^2 - 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 > 1.

Passo 6

Resolver x^2>1
x < -1 \quad\text{ou}\quad x > 1.
Como a inequação original é estrita, excluímos x=-1 e x=1, onde ocorreria igualdade de módulos.

Resposta

A solução da inequação é
x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty).

Exercícios relacionados