Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}
com condição inicial y(0)=1.
Este é um caso típico de equação diferencial separável, em que podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro para integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por y\,dx:
y\,\frac{dy}{dx}\,dx = x\,dx
ou seja
y\,dy = x\,dx.
Agora integramos cada lado:
\int y\,dy = \int x\,dx.

Passo 3

Calcule as integrais:
\int y\,dy = \frac{y^2}{2} + C_1,
\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C_2.
Reunindo as constantes numa só C, obtemos
\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C.
Multiplicando por 2:
y^2 = x^2 + C'.

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=1:
1^2 = 0^2 + C' \quad\Longrightarrow\quad C' = 1.
Logo
y^2 = x^2 + 1.
Como y(0)=1>0, escolhemos o ramo positivo:
y = \sqrt{x^2 + 1}.

Resposta

y(x) = \sqrt{x^2 + 1}.

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