Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
\frac{d y}{d x}=2 x y, \quad y(1)=2

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
\displaystyle \frac{dy}{dx}=2xy, com a condição y(1)=2.
O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem separáveis e vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Separamos y e x:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}=2x
e escrevemos
\frac{1}{y}\,dy =2x\,dx.
Agora integramos dos dois lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2x\,dx
\ln|y| = x^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Exponenciando ambos os lados, obtemos
y = e^{x^2 + C} = e^C\,e^{x^2}.
Chamando e^C=K, temos y=K\,e^{x^2}.
Usando y(1)=2, vem
2 = K\,e^{1^2} \quad\Longrightarrow\quad K = 2e^{-1}.
Logo a solução é
y(x)=2e^{-1}\,e^{x^2}=2e^{\,x^2-1}.

Resposta

y(x)=2e^{\,x^2-1}.

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