Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x}}{y}, \quad y(0)=3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x}}{y},
com condição inicial y(0)=3.
O método apropriado aqui é separação de variáveis, pois podemos isolar y de um lado e x do outro.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por y\,dx:
y\,dy = e^{x}\,dx.

Passo 3

Integre os dois lados:
\int y\,dy = \int e^{x}\,dx
o que dá
\frac{y^{2}}{2} = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=3 para determinar C. Substituindo x=0 e y=3 em \tfrac{y^{2}}{2} = e^{x} + C:
\frac{3^{2}}{2} = e^{0} + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{9}{2} = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2}.

Passo 5

Substitua C=\tfrac{7}{2} na expressão geral e resolva para y:
\frac{y^{2}}{2} = e^{x} + \frac{7}{2} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = 2e^{x} + 7 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\sqrt{2e^{x} + 7}.
Como y(0)=3>0, escolhemos o ramo positivo:

Resposta

y(x) = \sqrt{2\,e^{x} + 7}.

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