(4,0) Resolva os seguintes problemas de valor inicial utilizando a transformada de Laplace. Apresente a solução final no domínio do tempo.
e (a) y^{\prime \prime}(t)-3 y^{\prime}(t)+2 y(t)=e^{2 t}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace e apresentar a solução no domínio do tempo. Dados fornecidos:
y''(t)-3y'(t)+2y(t)=e^{2t},
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
As perguntas implícitas são: encontrar y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais, usando transformada de Laplace, e dar a solução final em termos de t.

Passo 2

Vou aplicar a transformada de Laplace às duas faces da equação. Lembrete (aula curta): a transformada de Laplace de uma função y(t) é definida por
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y(t)\,dt.
Propriedades úteis para derivadas (que usamos sempre em valor inicial):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Também usamos que
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\qquad(\text{para }s>a).
Agora aplico \mathcal{L}\{\cdot\} à equação:
\mathcal{L}\{y''\}-3\mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{e^{2t}\}.

Passo 3

Substituo as fórmulas das transformadas das derivadas e as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0. Assim:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot 1-0\bigr)-3\bigl(sY(s)-1\bigr)+2Y(s)=\frac{1}{s-2}.
Faço a soma dos termos em Y(s) e dos termos constantes:
Y(s)\bigl(s^{2}-3s+2\bigr)+(-s+3)=\frac{1}{s-2}.

Passo 4

Isolo Y(s):
Y(s)=\frac{\dfrac{1}{s-2}+s-3}{s^{2}-3s+2}.
Fatoro o polinômio do denominador s^{2}-3s+2=(s-1)(s-2). Portanto
Y(s)=\frac{\dfrac{1}{s-2}+s-3}{(s-1)(s-2)}.
Para manipular melhor, escrevo essa expressão como soma de termos:
Y(s)=\frac{1}{(s-1)(s-2)^{2}}+\frac{s-3}{(s-1)(s-2)}.
(Explicação rápida: \dfrac{1/(s-2)}{(s-1)(s-2)}=\dfrac{1}{(s-1)(s-2)^2}.)

Passo 5

Faço a decomposição em frações parciais do primeiro termo
\frac{1}{(s-1)(s-2)^2}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{(s-2)^2}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s-2)^2 obtemos a identidade
1=A(s-2)^2+B(s-1)(s-2)+C(s-1).
Agora determino A,B,C escolhendo valores convenientes de s.
  • Para s=1: 1=A( -1)^2\Rightarrow A=1.
  • Para s=2: 1=C(1)\Rightarrow C=1.
  • Para encontrar B uso s=0: 1=A( -2)^2+B(-1)(-2)+C(-1).
    Substituindo A=1 e C=1:
1=4+2B-1 \Rightarrow 1=3+2B \Rightarrow 2B=-2 \Rightarrow B=-1.
Logo
\frac{1}{(s-1)(s-2)^2}=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s-2}+\frac{1}{(s-2)^2}.

Passo 6

Agora decomponho o segundo termo
\frac{s-3}{(s-1)(s-2)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2}.
Multiplico por (s-1)(s-2):
s-3=A(s-2)+B(s-1).
Escolho valores:
  • Para s=1: 1-3=-2=A(-1)\Rightarrow A=2.
  • Para s=2: 2-3=-1=B(1)\Rightarrow B=-1.
    Portanto
\frac{s-3}{(s-1)(s-2)}=\frac{2}{s-1}-\frac{1}{s-2}.

Passo 7

Somando as decomposições encontradas:
Y(s)=\Bigl(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s-2}+\frac{1}{(s-2)^2}\Bigr)+\Bigl(\frac{2}{s-1}-\frac{1}{s-2}\Bigr).
Agrupo termos semelhantes:
Y(s)=\frac{3}{s-1}-\frac{2}{s-2}+\frac{1}{(s-2)^2}.

Passo 8

Agora faço a transformada inversa termo a termo. Lembrando as transformadas inversas padrão:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-a)^2}\right\}=t\,e^{at}.
Aplicando:
  • \dfrac{3}{s-1} 3e^{t}.
  • -\dfrac{2}{s-2} -2e^{2t}.
  • \dfrac{1}{(s-2)^2} t e^{2t}.
    Somando os termos obtemos a solução no tempo:
y(t)=3e^{t}-2e^{2t}+t e^{2t}.
Uma forma equivalente, factorizando e^{2t}, é
y(t)=3e^{t}+(t-2)e^{2t}.

Passo 9

Verificação rápida das condições iniciais (confere que não errei contas): para t=0,
y(0)=3-2+0=1\quad\checkmark.
Derivando y(t):
y'(t)=3e^{t}-4e^{2t}+e^{2t}+2t e^{2t}=3e^{t}-3e^{2t}+2t e^{2t},
logo y'(0)=3-3+0=0\quad\checkmark.

Resposta

y(t)=3e^{t}-2e^{2t}+t e^{2t}

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