Resolva os seguintes problemas de valor inicial utilizando a transformada de Laplace. Apresente a solução final no domínio do tempo.
e (a)
e (a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace e apresentar a solução no domínio do tempo. Dados fornecidos:
As perguntas implícitas são: encontrar
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais, usando transformada de Laplace, e dar a solução final em termos de
.
Passo 2
Vou aplicar a transformada de Laplace às duas faces da equação. Lembrete (aula curta): a transformada de Laplace de uma função
é definida por
Propriedades úteis para derivadas (que usamos sempre em valor inicial):
Também usamos que
Agora aplico
à equação:
Passo 3
Substituo as fórmulas das transformadas das derivadas e as condições iniciais
,
. Assim:
Faço a soma dos termos em
e dos termos constantes:
Passo 4
Isolo
:
Fatoro o polinômio do denominador
. Portanto
Para manipular melhor, escrevo essa expressão como soma de termos:
(Explicação rápida:
.)
Passo 5
Faço a decomposição em frações parciais do primeiro termo
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Agora determino
escolhendo valores convenientes de
.
- Para
: . - Para
: . - Para encontrar
uso : .
Substituindoe :
Logo
Passo 6
Agora decomponho o segundo termo
Multiplico por
:
Escolho valores:
- Para
: . - Para
: .
Portanto
Passo 7
Somando as decomposições encontradas:
Agrupo termos semelhantes:
Passo 8
Agora faço a transformada inversa termo a termo. Lembrando as transformadas inversas padrão:
Aplicando:
-
dá . -
dá . -
dá .
Somando os termos obtemos a solução no tempo:
Uma forma equivalente, factorizando
, é
Passo 9
Verificação rápida das condições iniciais (confere que não errei contas): para
,
Derivando
:
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