Resolva as seguintes questão.
Encontre a área externa da superfície de revolução determinada ao rotacionar ao redor do eixo x a região delimitada pela função f(x)=4 x^{3} e y=0 entre x=1 e x=4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área externa da superfície obtida ao rotacionar em torno do eixo x a região limitada por f(x)=4x^{3} e y=0 entre x=1 e x=4.
Informações dadas:
f(x)=4x^{3},\qquad y=0,\qquad x\in[1,4]
A rotação é em torno do eixo x. Queremos a área da superfície lateral gerada pela curva y=f(x) ao girá-la entre x=1 e x=4.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula prática para a área de superfície obtida ao girar uma curva y=y(x) (com y\ge0) em torno do eixo x. Imagine um pequeno segmento de arco da curva, de comprimento aproximado ds. Ao girá-lo em torno do eixo x ele gera uma “faixa” cujo comprimento ao redor é 2\pi y e cuja área é dS = 2\pi y\,ds.
Explicando melhor:
  • ds é o comprimento de arco diferencial da curva e é dado por
ds=\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
  • Portanto o elemento de área é
dS=2\pi y\,ds=2\pi y\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
A área total é a integral desse elemento no intervalo de x:
S=2\pi\int_{a}^{b} y(x)\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Aqui y(x)=f(x), a=1, b=4.

Passo 3

Calculemos a derivada de f:
f(x)=4x^{3}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=12x^{2}.
Substituindo na fórmula do passo anterior,
S=2\pi\int_{1}^{4} 4x^{3}\sqrt{1+\bigl(12x^{2}\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
\bigl(12x^{2}\bigr)^{2}=144x^{4},
logo
S=2\pi\int_{1}^{4} 4x^{3}\sqrt{1+144x^{4}}\,dx.
Fatorando a constante 4:
S=8\pi\int_{1}^{4} x^{3}\sqrt{1+144x^{4}}\,dx.

Passo 5

Para calcular a integral, fazemos a substituição
u=1+144x^{4}.
Derivando,
du=576x^{3}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{3}\,dx=\frac{du}{576}.
Quando x=1 temos u=1+144\cdot1^{4}=145. Quando x=4 temos u=1+144\cdot4^{4}=1+144\cdot256=36865.
Substituindo na integral:
\int_{1}^{4} x^{3}\sqrt{1+144x^{4}}\,dx =\int_{145}^{36865} \sqrt{u}\,\frac{du}{576} =\frac{1}{576}\int_{145}^{36865} u^{1/2}\,du.

Passo 6

Calcule a primitiva de u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Assim
\frac{1}{576}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{1}{864}u^{3/2}.
Voltando para S (lembrando do fator 8\pi):
S=8\pi\cdot\left[\frac{1}{864}u^{3/2}\right]_{145}^{36865} =\frac{8\pi}{864}\Bigl(36865^{3/2}-145^{3/2}\Bigr).
Simplificando o coeficiente \dfrac{8}{864}=\dfrac{1}{108}:
S=\frac{\pi}{108}\Bigl(36865^{3/2}-145^{3/2}\Bigr).

Passo 7

Podemos também escrever a resposta em outra forma equivalente, usando raiz quadrada:
S=\frac{\pi}{108}\Bigl(36865\sqrt{36865}-145\sqrt{145}\Bigr).
Se você quiser um valor numérico aproximado (útil para conferir no exame rápido),
S\approx 205841{,}27.

Resposta

\displaystyle S=\frac{\pi}{108}\Bigl(36865^{3/2}-145^{3/2}\Bigr)
\displaystyle S\approx 205841{,}27

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