Resolva as seguintes questão.
Encontre a área externa da superfície de revolução determinada ao rotacionar ao redor do eixo
a região delimitada pela função
e
entre
e
Encontre a área externa da superfície de revolução determinada ao rotacionar ao redor do eixo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a área externa da superfície obtida ao rotacionar em torno do eixo
a região limitada por
e
entre
e
.
Informações dadas:
A rotação é em torno do eixo
. Queremos a área da superfície lateral gerada pela curva
ao girá-la entre
e
.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula prática para a área de superfície obtida ao girar uma curva
(com
) em torno do eixo
. Imagine um pequeno segmento de arco da curva, de comprimento aproximado
. Ao girá-lo em torno do eixo
ele gera uma “faixa” cujo comprimento ao redor é
e cuja área é
.
Explicando melhor:
-
é o comprimento de arco diferencial da curva e é dado por
- Portanto o elemento de área é
A área total é a integral desse elemento no intervalo de
:
Aqui
,
,
.
Passo 3
Calculemos a derivada de
:
Substituindo na fórmula do passo anterior,
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
logo
Fatorando a constante
:
Passo 5
Para calcular a integral, fazemos a substituição
Derivando,
Quando
temos
. Quando
temos
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Calcule a primitiva de
:
Assim
Voltando para
(lembrando do fator
):
Simplificando o coeficiente
:
Passo 7
Podemos também escrever a resposta em outra forma equivalente, usando raiz quadrada:
Se você quiser um valor numérico aproximado (útil para conferir no exame rápido),