Resolva as seguintes questão.
Encontre o comprimento do arco da curva determinada pela função
entre
e
.
Encontre o comprimento do arco da curva determinada pela função
Passo 1
Você me pediu para encontrar o comprimento do arco da curva definida por
no intervalo de
até
. Informações relevantes fornecidas:
O objetivo final é calcular o comprimento do arco da curva
entre esses dois valores de
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por
, com
diferenciável em
:
Explicando essa fórmula de forma simples: pense em dividir o intervalo em pequenos pedaços de largura
. O pequeno segmento de curva tem comprimento aproximado
. No limite quando
,
e somamos essas contribuições infinitesimais por integração, chegando à fórmula acima. Aqui
é a derivada de
em
.
Passo 3
Precisamos calcular a derivada
. Aplicando a regra do poder e a regra da cadeia:
A derivada de
é
. Multiplicando pelo coeficiente
, temos
Vou explicar cada símbolo:
é a raiz quadrada de
, ou seja
.
Passo 4
Substituímos
na fórmula do comprimento de arco. Primeiro calculemos
:
Então o integrando fica
Perceba que a simplificação é direta:
, e a raiz quadrada de
é
.
Passo 5
Agora montamos a integral do comprimento de arco:
Para integrar, usamos a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então a primitiva é
Passo 6
Avaliamoa integral definida entre 1 e 4 usando a primitiva encontrada:
Calcule
: primeiro
, depois
, logo
. E
. Portanto
Passo 7
Breve checagem (pra te dar tranquilidade): a derivada
é contínua em
, então a aplicação da fórmula de comprimento de arco é válida. O resultado
é um número positivo e faz sentido.