Resolva as seguintes questão.
Encontre o comprimento do arco da curva determinada pela função f(x)=\frac{2}{3}(x-1)^{3 / 2} entre x=1 e x=4.

Passo 1

Você me pediu para encontrar o comprimento do arco da curva definida por \,f(x)=\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}\, no intervalo de x=1 até x=4. Informações relevantes fornecidas:
\text{função: } f(x)=\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}çã
\text{intervalo: } a=1,\; b=4
O objetivo final é calcular o comprimento do arco da curva y=f(x) entre esses dois valores de x.

Passo 2

Vamos usar a fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por y=f(x), com f diferenciável em [a,b]:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Explicando essa fórmula de forma simples: pense em dividir o intervalo em pequenos pedaços de largura \Delta x. O pequeno segmento de curva tem comprimento aproximado \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}\;\Delta x. No limite quando \Delta x\to0, \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(x) e somamos essas contribuições infinitesimais por integração, chegando à fórmula acima. Aqui f'(x) é a derivada de f em x.

Passo 3

Precisamos calcular a derivada f'(x). Aplicando a regra do poder e a regra da cadeia:
f(x)=\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}.
A derivada de (x-1)^{3/2} é \dfrac{3}{2}(x-1)^{1/2}. Multiplicando pelo coeficiente \dfrac{2}{3}, temos
f'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}(x-1)^{1/2}=(x-1)^{1/2}.
Vou explicar cada símbolo: (x-1)^{1/2} é a raiz quadrada de (x-1), ou seja \sqrt{x-1}.

Passo 4

Substituímos f'(x) na fórmula do comprimento de arco. Primeiro calculemos \bigl(f'(x)\bigr)^{2}:
\bigl(f'(x)\bigr)^{2}=\bigl((x-1)^{1/2}\bigr)^{2}=x-1.
Então o integrando fica
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}=\sqrt{1+(x-1)}=\sqrt{x}.
Perceba que a simplificação é direta: 1+(x-1)=x, e a raiz quadrada de x é \sqrt{x}.

Passo 5

Agora montamos a integral do comprimento de arco:
L=\int_{1}^{4}\sqrt{x}\;dx=\int_{1}^{4}x^{1/2}\;dx.
Para integrar, usamos a regra da potência para integrais: para n\neq-1,
\int x^{n}\;dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então a primitiva é
\int x^{1/2}\;dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.

Passo 6

Avaliamoa integral definida entre 1 e 4 usando a primitiva encontrada:
L=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1}^{4}=\frac{2}{3}\bigl(4^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Calcule 4^{3/2}: primeiro \sqrt{4}=2, depois 2^{3}=8, logo 4^{3/2}=8. E 1^{3/2}=1. Portanto
L=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{2}{3}\cdot 7=\frac{14}{3}.

Passo 7

Breve checagem (pra te dar tranquilidade): a derivada f'(x)=\sqrt{x-1} é contínua em [1,4], então a aplicação da fórmula de comprimento de arco é válida. O resultado \dfrac{14}{3} é um número positivo e faz sentido.

Resposta

\dfrac{14}{3}

Exercícios relacionados