Resolver a equação x^{2}-a x-b^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^{2}-a x-b^{2}=0.
As informações dadas são:
  • A incógnita é x.
  • Os parâmetros a e b aparecem na equação; não foi dito nada sobre serem reais ou complexos, mas vou tratar primeiro o caso em que a e b são números reais (o raciocínio vale também para complexos).
  • A equação é um polinômio quadrático em x com coeficientes: coeficiente de x^{2} é 1, coeficiente de x é -a e termo independente é -b^{2}.
O que se pede: encontrar todas as soluções x que satisfazem a equação acima.

Passo 2

Estratégia de resolução escolhida: vou usar o método de completar o quadrado (que produz a fórmula quadrática) porque é um caminho direto e didático para obter as raízes de qualquer equação do tipo x^{2}+px+q=0. Esse método mostra de onde vem a fórmula e é fácil de aplicar sem pular etapas.
Lembrete rápido sobre completar o quadrado:
  • Para uma expressão do tipo x^{2}+ux podemos escrever x^{2}+ux = \bigl(x+\tfrac{u}{2}\bigr)^{2} - \bigl(\tfrac{u}{2}\bigr)^{2}.
  • Aplicando essa identidade numa equação quadrática obtemos uma forma em que é simples isolar x e aplicar a raiz quadrada.

Passo 3

Aplicando completar o quadrado à equação dada. Começo por escrever a equação:
x^{2}-a x-b^{2}=0.
Isolo os termos que contêm x no lado esquerdo:
x^{2}-a x = b^{2}.
Agora uso a identidade para completar o quadrado com u=-a. O termo a adicionar e subtrair é \bigl(\tfrac{-a}{2}\bigr)^{2}=\bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^{2}. Assim,
x^{2}-a x + \left(\tfrac{a}{2}\right)^{2} = b^{2} + \left(\tfrac{a}{2}\right)^{2}.
O lado esquerdo agora é um quadrado perfeito. Escrevo:
\left(x-\tfrac{a}{2}\right)^{2} = b^{2} + \left(\tfrac{a}{2}\right)^{2}.

Passo 4

Simplifico o lado direito para deixá-lo mais claro. Calculo \left(\tfrac{a}{2}\right)^{2}=\tfrac{a^{2}}{4}, então:
\left(x-\tfrac{a}{2}\right)^{2} = b^{2} + \tfrac{a^{2}}{4}.
Coloco o lado direito sobre um denominador comum se quiser juntar termos:
b^{2} + \tfrac{a^{2}}{4} = \tfrac{4b^{2}}{4} + \tfrac{a^{2}}{4} = \tfrac{a^{2}+4b^{2}}{4}.
Portanto
\left(x-\tfrac{a}{2}\right)^{2} = \tfrac{a^{2}+4b^{2}}{4}.

Passo 5

Agora aplico raiz quadrada em ambos os lados (lembrando do \pm porque raiz tem dois sinais):
x-\tfrac{a}{2} = \pm \sqrt{\tfrac{a^{2}+4b^{2}}{4}}.
A raiz da fração é a fração da raiz (para números não negativos no caso real), então
x-\tfrac{a}{2} = \pm \tfrac{\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}.

Passo 6

Isolo x somando \tfrac{a}{2} aos dois lados:
x = \tfrac{a}{2} \pm \tfrac{\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}.
Juntando em uma única fração (denominador comum 2):
x = \frac{a \pm \sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}.

Passo 7

Interpretação das soluções (condições e significado do discriminante):
  • O discriminante aqui é a^{2}+4b^{2}. Note que, para a,b reais, a^{2}\ge 0 e 4b^{2}\ge 0, logo a^{2}+4b^{2}\ge 0 sempre. Isso significa que as raízes são sempre números reais.
  • A igualdade a^{2}+4b^{2}=0 ocorre somente quando a=0 e b=0 simultaneamente; nesse caso \sqrt{a^{2}+4b^{2}}=0 e as duas raízes coincidem em x=0 (raiz dupla).
  • Se pelo menos um entre a e b for diferente de zero então a^{2}+4b^{2}>0 e as duas raízes são reais distintas.

Passo 8

Verificação rápida (como conferir na prova): substituir a solução de volta na equação é trabalhosa mas pode-se verificar que a soma das raízes e o produto das raízes obedecem às relações de Viète para checar consistência:
  • Soma das raízes x_{1}+x_{2} deve ser a (pois coeficiente de x é -a, e soma = \tfrac{a}{1}). De fato,
\frac{a+\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2} + \frac{a-\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2} = \frac{2a}{2} = a.
  • Produto das raízes x_{1}x_{2} deve ser -b^{2} (termo independente dividido pelo coeficiente de x^{2}). De fato,
\left(\frac{a+\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}\right)\left(\frac{a-\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}\right) = \frac{a^{2}-(a^{2}+4b^{2})}{4} = \frac{-4b^{2}}{4} = -b^{2}.
Isso confirma que as soluções estão corretas.

Resposta

\displaystyle x=\frac{a\pm\sqrt{a^{2}+4b^{2}}}{2}

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