Resolver a equação
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
As informações dadas são:
- A incógnita é
. - Os parâmetros
e aparecem na equação; não foi dito nada sobre serem reais ou complexos, mas vou tratar primeiro o caso em que e são números reais (o raciocínio vale também para complexos). - A equação é um polinômio quadrático em
com coeficientes: coeficiente de é , coeficiente de é e termo independente é .
O que se pede: encontrar todas as soluções
que satisfazem a equação acima.
Passo 2
Estratégia de resolução escolhida: vou usar o método de completar o quadrado (que produz a fórmula quadrática) porque é um caminho direto e didático para obter as raízes de qualquer equação do tipo
. Esse método mostra de onde vem a fórmula e é fácil de aplicar sem pular etapas.
Lembrete rápido sobre completar o quadrado:
- Para uma expressão do tipo
podemos escrever . - Aplicando essa identidade numa equação quadrática obtemos uma forma em que é simples isolar
e aplicar a raiz quadrada.
Passo 3
Aplicando completar o quadrado à equação dada. Começo por escrever a equação:
Isolo os termos que contêm
no lado esquerdo:
Agora uso a identidade para completar o quadrado com
. O termo a adicionar e subtrair é
. Assim,
O lado esquerdo agora é um quadrado perfeito. Escrevo:
Passo 4
Simplifico o lado direito para deixá-lo mais claro. Calculo
, então:
Coloco o lado direito sobre um denominador comum se quiser juntar termos:
Portanto
Passo 5
Agora aplico raiz quadrada em ambos os lados (lembrando do
porque raiz tem dois sinais):
A raiz da fração é a fração da raiz (para números não negativos no caso real), então
Passo 6
Isolo
somando
aos dois lados:
Juntando em uma única fração (denominador comum
):
Passo 7
Interpretação das soluções (condições e significado do discriminante):
- O discriminante aqui é
. Note que, para reais, e , logo sempre. Isso significa que as raízes são sempre números reais. - A igualdade
ocorre somente quando e simultaneamente; nesse caso e as duas raízes coincidem em (raiz dupla). - Se pelo menos um entre
e for diferente de zero então e as duas raízes são reais distintas.
Passo 8
Verificação rápida (como conferir na prova): substituir a solução de volta na equação é trabalhosa mas pode-se verificar que a soma das raízes e o produto das raízes obedecem às relações de Viète para checar consistência:
- Soma das raízes
deve ser (pois coeficiente de é , e soma = ). De fato,
- Produto das raízes
deve ser (termo independente dividido pelo coeficiente de ). De fato,
Isso confirma que as soluções estão corretas.