1. A respeito da Produto Vetorial e Produto Misto em \mathbb{R}^{3}, assinale a única asserção FALSA:
    a) \vec{u} \times \vec{v}=\overrightarrow{0} implica que \vec{u} é paralelo a \vec{v}

Passo 1

O enunciado fornece a seguinte asserção a ser avaliada:
a) \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} implica que \vec{u} é paralelo a \vec{v}.
Dados relevantes:
  • A informação dada é a igualdade vetorial \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}.
  • A afirmação a ser verificada é que dessa igualdade segue que \vec{u} e \vec{v} são paralelos.

Passo 2

Vamos recordar o que significa o produto vetorial e uma propriedade útil que vamos usar. O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a \vec{u} e a \vec{v} e com magnitude igual à área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}. Em fórmulas:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, com 0\le\theta\le\pi.
Explicando: \|\vec{u}\| é o comprimento de \vec{u}, \|\vec{v}\| é o comprimento de \vec{v}, e \sin\theta mede a componente perpendicular entre eles. Essa fórmula é central para entender quando o produto vetorial é o vetor nulo.

Passo 3

Usemos a fórmula do passo anterior para analisar o caso \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}. Tomando normas em ambos os lados:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=0.
Pela fórmula,
\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta=0.
Uma produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Portanto, temos três possibilidades:
  1. \|\vec{u}\|=0, ou seja \vec{u}=\overrightarrow{0}.
  2. \|\vec{v}\|=0, ou seja \vec{v}=\overrightarrow{0}.
  3. \sin\theta=0, ou seja \theta=0 ou \theta=\pi, o que significa que \vec{u} e \vec{v} são colineares (apontam na mesma direção ou em direções opostas).
Agora, o que significa “ser paralelo” em termos vetoriais? Dizemos que \vec{u} é paralelo a \vec{v} se existe um escalar \lambda tal que
\vec{u}=\lambda\vec{v}.
Se \theta=0 ou \theta=\pi, então existe tal \lambda (positivo no caso \theta=0, negativo no caso \theta=\pi). Se um dos vetores é o vetor nulo, também existe um \lambda (por exemplo, \vec{0}=0\cdot\vec{v}), ou seja, o vetor nulo é um múltiplo escalar de qualquer vetor.

Passo 4

Concluindo a partir dos passos anteriores: \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} implica que \vec{u} e \vec{v} são colineares ou que um deles é o vetor nulo. Em termos de múltiplos escalares, isso significa exatamente que existe \lambda com \vec{u}=\lambda\vec{v}. Portanto \vec{u} é paralelo a \vec{v} (lembrando que, por definição usual em Álgebra Linear, o vetor nulo é considerado múltiplo escalar de qualquer vetor, logo “paralelo” inclui esse caso).

Passo 5

Um exemplo concreto para fixar a ideia:
  • Tome \vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=(2,4,6). Aqui \vec{v}=2\vec{u}, então são paralelos e
\vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0}.
  • Tome \vec{u}=\overrightarrow{0} e \vec{v}=(5,0,0). Então \vec{u}\times\vec{v}=\overrightarrow{0} e ainda assim \vec{u}=0\cdot\vec{v}, isto é, paralelo segundo a definição por múltiplo escalar.

Resposta

a) Verdadeira.