- A respeito da Produto Vetorial e Produto Misto em
, assinale a única asserção FALSA:
a)
implica que
é paralelo a
a)
Passo 1
O enunciado fornece a seguinte asserção a ser avaliada:
a) implica que
é paralelo a
.
a)
Dados relevantes:
- A informação dada é a igualdade vetorial
. - A afirmação a ser verificada é que dessa igualdade segue que
e são paralelos.
Passo 2
Vamos recordar o que significa o produto vetorial e uma propriedade útil que vamos usar. O produto vetorial
é um vetor perpendicular a
e a
e com magnitude igual à área do paralelogramo gerado por
e
. Em fórmulas:
onde
é o ângulo entre
e
, com
.
Explicando: é o comprimento de
,
é o comprimento de
, e
mede a componente perpendicular entre eles. Essa fórmula é central para entender quando o produto vetorial é o vetor nulo.
Explicando:
Passo 3
Usemos a fórmula do passo anterior para analisar o caso
. Tomando normas em ambos os lados:
Pela fórmula,
Uma produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Portanto, temos três possibilidades:
-
, ou seja . -
, ou seja . -
, ou seja ou , o que significa que e são colineares (apontam na mesma direção ou em direções opostas).
Agora, o que significa “ser paralelo” em termos vetoriais? Dizemos que
é paralelo a
se existe um escalar
tal que
Se
ou
, então existe tal
(positivo no caso
, negativo no caso
). Se um dos vetores é o vetor nulo, também existe um
(por exemplo,
), ou seja, o vetor nulo é um múltiplo escalar de qualquer vetor.
Passo 4
Concluindo a partir dos passos anteriores:
implica que
e
são colineares ou que um deles é o vetor nulo. Em termos de múltiplos escalares, isso significa exatamente que existe
com
. Portanto
é paralelo a
(lembrando que, por definição usual em Álgebra Linear, o vetor nulo é considerado múltiplo escalar de qualquer vetor, logo “paralelo” inclui esse caso).
Passo 5
Um exemplo concreto para fixar a ideia:
- Tome
e . Aqui , então são paralelos e
- Tome
e . Então e ainda assim , isto é, paralelo segundo a definição por múltiplo escalar.
Resposta
a) Verdadeira.