1. A respeito da Teoria de Vetores em \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, assinale a única asserção FALSA:
    a) Um vetor é um conjunto de segmentos orientados que possuem a mesma direção, sentido e comprimento.

Passo 1

O enunciado pede: “Assinale a única asserção FALSA”. Foi dada apenas a alternativa:
a) Um vetor é um conjunto de segmentos orientados que possuem a mesma direção, sentido e comprimento.
Informações relevantes do enunciado:
  • Trabalha-se com vetores em \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}.
  • A alternativa (a) define vetores geometricamente como um conjunto de segmentos orientados com mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento.

Passo 2

Vamos entender exatamente o que é um “segmento orientado” e as palavras-chave da definição: direção, sentido e comprimento.
  • Segmento orientado: é um segmento de reta com uma ponta inicial e uma ponta final, o que dá uma orientação (por onde ele “aponta”). Em notação, o segmento orientado de A a B é \overrightarrow{AB}.
  • Comprimento: é a magnitude do segmento, no caso \lVert\overrightarrow{AB}\rVert que em coordenadas vale \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} em \mathbb{R}^2.
  • Direção: a reta ao longo da qual o segmento está; dois segmentos são da mesma direção se são paralelos (ou pertencem à mesma reta).
  • Sentido: para uma reta orientada, o sentido indica qual extremidade é “início” e qual é “fim” (por exemplo, para a mesma reta, um segmento pode apontar para a direita ou para a esquerda).

Passo 3

Agora a noção matemática padrão: um vetor livre (a definição geométrica usual em \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3) é exatamente a classe de equivalência de segmentos orientados que têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Em palavras mais simples: pegue todos os segmentos orientados que “apontam para o mesmo lado”, estão paralelos e têm o mesmo tamanho — esse conjunto representa UM vetor.
Exemplo concreto em \mathbb{R}^2:
  • Seja A=(0,0) e B=(2,1). Então \overrightarrow{AB}=(2,1) como vetor de componentes.
  • Qualquer outro segmento orientado C a D com \overrightarrow{CD}=(2,1) tem mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento: é o mesmo vetor livre geometricamente.

Passo 4

Comparando com a alternativa (a): ela diz que “Um vetor é um conjunto de segmentos orientados que possuem a mesma direção, sentido e comprimento.” Essa frase coincide com a definição geométrica padrão de vetor livre (classe de equivalência de segmentos orientados com mesmas direção, sentido e comprimento). Logo a afirmação é correta (verdadeira).

Passo 5

Aviso contra confusão comum: segmentos com mesma direção e mesmo comprimento, mas sentidos opostos, NÃO representam o mesmo vetor. Por exemplo, \overrightarrow{AB}=(1,0) e \overrightarrow{BA}=(-1,0) têm mesma direção (reta horizontal) e mesmo comprimento, mas sentidos opostos — logo são vetores diferentes. Isso mostra que o sentido é parte essencial da definição dada na alternativa (a).

Passo 6

Portanto, avaliando a alternativa (a) com base na definição e em exemplos, concluímos que (a) é verdadeira. Como a pergunta pede para assinalar a asserção FALSA, a alternativa (a) não é a falsa.

Resposta

A opção (a) é verdadeira; portanto não é a asserção falsa.

Exercícios relacionados