- A respeito da Teoria de Vetores em
e
, assinale a única asserção FALSA:
a) Dois vetores linearmente dependentes são ortogonais
a) Dois vetores linearmente dependentes são ortogonais
Passo 1
O enunciado pede para assinalar a única asserção FALSA entre as dadas. A asserção apresentada é:
a) Dois vetores linearmente dependentes são ortogonais.
a) Dois vetores linearmente dependentes são ortogonais.
Vou trabalhar apenas com essa afirmação e decidir se ela é verdadeira ou falsa, usando as informações que ela dá.
Passo 2
Definição de dependência linear (dois vetores). Sejam
e
em
ou
. Dizemos que
e
são linearmente dependentes se existem escalares
, nem ambos zeros, tais que
No caso de apenas dois vetores, isso é equivalente a dizer que um é múltiplo escalar do outro: existe
tal que
ou um dos vetores é o vetor nulo
.
Passo 3
Definição de ortogonalidade. Dois vetores
e
são ortogonais quando o produto escalar (dot) é zero:
Em coordenadas, para
temos
,
e
Em
é análogo com três componentes. Geometricamente,
significa que os vetores são perpendiculares.
Passo 4
Relacionando dependência e produto escalar. Se
(caso não-trivial de dependência), então
A norma
é positiva sempre que
. Logo, se
e
então
. Isso mostra que dois vetores dependentes e não nulos (um sendo múltiplo do outro com múltiplo não nulo) não são ortogonais.
Passo 5
Contraexemplo numérico simples (mostra que a afirmação é falsa). Tome em
Esses vetores são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro). O produto escalar é
Portanto são dependentes e não ortogonais — contradizendo a asserção a).
Passo 6
Observação sobre o caso especial do vetor nulo. Se um dos vetores for
, então
é linearmente dependente com qualquer vetor e
é ortogonal a todo vetor (porque
). Assim há um caso em que vetores dependentes podem ser ortogonais — mas isso é uma exceção (envolve o zero). A asserção dada não mencionou essa exceção, ela afirmava isso de modo geral, por isso continua sendo falsa.
Passo 7
Conclusão lógica: a asserção “Dois vetores linearmente dependentes são ortogonais” não é verdadeira em geral (é falsa para vetores não nulos múltiplos entre si; só pode ocorrer se um dos vetores for o nulo). Logo a alternativa a) é FALSA.
Resposta
a) FALSA