1. A respeito da Teoria de Vetores em \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, assinale a única asserção FALSA:
    a) Dois vetores linearmente dependentes são ortogonais

Passo 1

O enunciado pede para assinalar a única asserção FALSA entre as dadas. A asserção apresentada é:
a) Dois vetores linearmente dependentes são ortogonais.
Vou trabalhar apenas com essa afirmação e decidir se ela é verdadeira ou falsa, usando as informações que ela dá.

Passo 2

Definição de dependência linear (dois vetores). Sejam \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3. Dizemos que \mathbf{u} e \mathbf{v} são linearmente dependentes se existem escalares \alpha,\beta, nem ambos zeros, tais que
\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}=\mathbf{0}.
No caso de apenas dois vetores, isso é equivalente a dizer que um é múltiplo escalar do outro: existe c\in\mathbb{R} tal que
\mathbf{v}=c\,\mathbf{u},
ou um dos vetores é o vetor nulo \mathbf{0}.

Passo 3

Definição de ortogonalidade. Dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} são ortogonais quando o produto escalar (dot) é zero:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0.
Em coordenadas, para \mathbb{R}^2 temos \mathbf{u}=(u_1,u_2), \mathbf{v}=(v_1,v_2) e
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2.
Em \mathbb{R}^3 é análogo com três componentes. Geometricamente, \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0 significa que os vetores são perpendiculares.

Passo 4

Relacionando dependência e produto escalar. Se \mathbf{v}=c\,\mathbf{u} (caso não-trivial de dependência), então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{u}\cdot(c\,\mathbf{u})=c\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{u})=c\,\|\mathbf{u}\|^2.
A norma \|\mathbf{u}\|^2=\mathbf{u}\cdot\mathbf{u} é positiva sempre que \mathbf{u}\neq\mathbf{0}. Logo, se \mathbf{u}\neq\mathbf{0} e c\neq 0 então \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=c\,\|\mathbf{u}\|^2\neq 0. Isso mostra que dois vetores dependentes e não nulos (um sendo múltiplo do outro com múltiplo não nulo) não são ortogonais.

Passo 5

Contraexemplo numérico simples (mostra que a afirmação é falsa). Tome em \mathbb{R}^2
\mathbf{u}=(1,2),\qquad \mathbf{v}=(2,4)=2\,\mathbf{u}.
Esses vetores são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro). O produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot 2 + 2\cdot 4 = 2+8=10\neq 0.
Portanto são dependentes e não ortogonais — contradizendo a asserção a).

Passo 6

Observação sobre o caso especial do vetor nulo. Se um dos vetores for \mathbf{0}, então \mathbf{0} é linearmente dependente com qualquer vetor e \mathbf{0} é ortogonal a todo vetor (porque \mathbf{0}\cdot\mathbf{u}=0). Assim há um caso em que vetores dependentes podem ser ortogonais — mas isso é uma exceção (envolve o zero). A asserção dada não mencionou essa exceção, ela afirmava isso de modo geral, por isso continua sendo falsa.

Passo 7

Conclusão lógica: a asserção “Dois vetores linearmente dependentes são ortogonais” não é verdadeira em geral (é falsa para vetores não nulos múltiplos entre si; só pode ocorrer se um dos vetores for o nulo). Logo a alternativa a) é FALSA.

Resposta

a) FALSA

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