Responda:
Defina matematicamente, potencial químico

Passo 1

O que o enunciado pede: definir matematicamente o potencial químico.
Informações dadas: nenhuma além do pedido de definição matemática.

Passo 2

Primeiro, uma ideia rápida e intuitiva (sem matemática pesada ainda): o potencial químico de uma espécie é a “tendência” dessa espécie a se deslocar/ser adicionada a um sistema — é quanto a energia livre do sistema varia quando se acrescenta uma pequena quantidade dessa espécie, mantendo certas condições (temperatura e pressão, por exemplo). Isso já dá a pista de que o potencial químico será uma derivada de alguma função de energia livre em relação ao número de mols.

Passo 3

Agora a parte formal: comece pela energia livre de Gibbs G, que é a função de estado muito usada quando trabalhamos a temperatura T e pressão P constantes. A diferencial total de G para um sistema aberto que pode trocar matéria é
dG = -S\,dT + V\,dP + \sum_{i} \mu_{i}\,dn_{i},
onde:
  • S é a entropia do sistema;
  • V é o volume do sistema;
  • n_{i} é a quantidade de matéria (por exemplo, número de mols) da espécie i;
  • \mu_{i} é o potencial químico da espécie i.
Dessa expressão, isolamos a definição matemática do potencial químico como a derivada parcial apropriada.

Passo 4

Definição matemática canônica (a que o professor normalmente espera na prova):
\mu_{i} \;=\; \left(\frac{\partial G}{\partial n_{i}}\right)_{T,P,n_{j\ne i}}.
Explicação detalhada da notação:
  • \left(\dfrac{\partial G}{\partial n_{i}}\right)_{T,P,n_{j\ne i}} significa: a variação infinitesimal de G quando se adiciona uma quantidade infinitesimal de n_i, mantendo a temperatura T, a pressão P e todas as outras quantidades n_{j} (com j\neq i) constantes.
  • Em palavras: \mu_i é a variação do G por mol de i adicionado sob T,P fixos.
  • Unidade: \mu_i tem unidades de energia por quantidade de matéria (por exemplo, \mathrm{J\cdot mol^{-1}}).
  • Propriedade importante: \mu_i é uma grandeza intensiva (não depende do tamanho do sistema).

Passo 5

Outras formas equivalentes (úteis em diferentes contextos):
\mu_{i} \;=\; \left(\frac{\partial A}{\partial n_{i}}\right)_{T,V,n_{j\ne i}}, \qquad \mu_{i} \;=\; \left(\frac{\partial U}{\partial n_{i}}\right)_{S,V,n_{j\ne i}},
onde A é a energia livre de Helmholtz e U a energia interna. Essas expressões significam a mesma ideia: variação da respectiva função de energia por mol de i adicionado, sob as condições naturais da função usada.

Passo 6

Expressão prática em termos de atividade (muito usada em química físico/termodinâmica):
\mu_{i} = \mu_{i}^{\circ} + R T \ln a_{i},
onde:
  • \mu_{i}^{\circ} é o potencial químico padrão da espécie i (dependente de T e da escolha de estado padrão);
  • R é a constante universal dos gases;
  • T é a temperatura absoluta;
  • a_{i} é a atividade adimensional da espécie i (medida do “efeito efetivo” da espécie, reduz o comportamento real ao caso ideal).
Casos particulares comuns:
  • Gás ideal: a_{i} = \dfrac{p_{i}}{p^{\circ}}, então
\mu_{i} = \mu_{i}^{\circ} + R T \ln\!\left(\frac{p_{i}}{p^{\circ}}\right),
com p_{i} pressão parcial e p^{\circ} pressão padrão.
  • Solução ideal: a_{i} = x_{i} (fração molar), então
\mu_{i} = \mu_{i}^{\circ} + R T \ln x_{i}.

Passo 7

Relações úteis e consequências físicas:
  • Para uma reação química com coeficientes estequiométricos \nu_{i}, a variação da energia livre da reação é
\Delta_{r}G \;=\; \sum_{i} \nu_{i}\,\mu_{i}.
Equilíbrio químico: \Delta_{r}G=0 implica \sum_{i} \nu_{i}\,\mu_{i}=0.
  • Relação de Gibbs–Duhem:
\sum_{i} n_{i}\,d\mu_{i} \;=\; -S\,dT + V\,dP,
que mostra que os \mu_{i} não são independentes quando T e P variam.

Passo 8

Exemplo rápido e intuitivo (para fixar): em uma solução ideal, ao diluir a espécie i (diminuir x_i), o termo R T \ln x_i fica mais negativo, logo \mu_i diminui — a “tendência” da espécie a escapar/participar de reações fica diferente com a concentração.

Passo 9

Resumo das características essenciais que você deve lembrar para a prova:
  • Definição matemática principal: \mu_{i}=(\partial G/\partial n_{i})_{T,P,n_{j\ne i}}.
  • Alternativa: \mu_{i}=\mu_{i}^{\circ}+RT\ln a_{i}.
  • Unidade: energia por mol ( \mathrm{J\cdot mol^{-1}}); é intensivo.
  • Papel central: determina equilíbrio químico e direção espontânea de transferências de matéria.

Resposta

\displaystyle \mu_{i} \;=\; \left(\frac{\partial G}{\partial n_{i}}\right)_{T,P,n_{j\ne i}}
\displaystyle \mu_{i} \;=\; \mu_{i}^{\circ} + R T \ln a_{i}

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