Responda as seguintes questões:
Determine se a série é divergente ou convergente e obtenha uma fórmula para s_{n}. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n}
verificando se ela converge ou diverge e, além disso, encontrar uma fórmula fechada para o somatório parcial
s_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k-1}}{3^k}.
O conteúdo aqui é séries geométricas: reconhecer termos da forma a r^{k-1}, usar a fórmula do somatório parcial e depois investigar o limite quando n\to\infty.
Passo 2
Vamos reescrever o termo geral para revelar a razão geométrica. Para cada k\ge1,