Responda as seguintes questões:
Determine se a série é divergente ou convergente e obtenha uma fórmula para s_{n}.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n}
verificando se ela converge ou diverge e, além disso, encontrar uma fórmula fechada para o somatório parcial
s_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k-1}}{3^k}.
O conteúdo aqui é séries geométricas: reconhecer termos da forma a r^{k-1}, usar a fórmula do somatório parcial e depois investigar o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral para revelar a razão geométrica. Para cada k\ge1,
\frac{2^{k-1}}{3^k} =\frac{1}{3}\,\frac{2^{k-1}}{3^{k-1}} =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{k-1}.
Logo é uma progressão geométrica de primeiro termo
a = \frac{1}{3}
e razão
r = \frac{2}{3}.

Passo 3

A fórmula do somatório parcial de uma PG de primeiro termo a e razão r\neq1 é
s_n = a\,\frac{1-r^n}{1-r}.
Substituindo a=\tfrac{1}{3} e r=\tfrac{2}{3}, obtemos
s_n =\frac{1}{3}\,\frac{1-\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^n}{1-\tfrac{2}{3}} =\frac{1}{3}\,\frac{1-(\tfrac{2}{3})^n}{\tfrac{1}{3}} =1-\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^n.

Passo 4

Para verificar a convergência da série, analisamos
\lim_{n\to\infty}s_n =\lim_{n\to\infty}\Bigl[1-\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^n\Bigr].
Como \bigl|\tfrac{2}{3}\bigr|<1, temos \lim_{n\to\infty}(2/3)^n=0. Logo
\lim_{n\to\infty}s_n = 1-0 = 1.
Isso mostra que a série converge e tem soma finita.

Resposta

A série é convergente e
s_n = 1 - \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n,
com soma infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n} = 1.

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