Responda as seguintes questões:
Determine se a série é divergente ou convergente e obtenha uma fórmula para
.
Determine se a série é divergente ou convergente e obtenha uma fórmula para
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para determinar se ela converge ou diverge e obter uma fórmula para o
-ésimo somatório parcial
. Vamos usar decomposição em frações parciais e o fenômeno de soma telescópica.
Passo 2
Fazendo a decomposição
temos
Comparando coeficientes em
e constantes resulta em
e
. Logo,
Passo 3
O
-ésimo somatório parcial é
Essa soma é telescópica, pois os termos internos se cancelam, ficando
Passo 4
Para ver a convergência, basta calcular
Como esse limite é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e