Responda as seguintes questões:
Determine se a série é divergente ou convergente e obtenha uma fórmula para s_{n}.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}
e pede para determinar se ela converge ou diverge e obter uma fórmula para o n-ésimo somatório parcial s_{n}. Vamos usar decomposição em frações parciais e o fenômeno de soma telescópica.

Passo 2

Fazendo a decomposição
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1},
temos
1 = A(2n+1)+B(2n-1).
Comparando coeficientes em n e constantes resulta em A=\tfrac12 e B=-\tfrac12. Logo,
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac12\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr).

Passo 3

O n-ésimo somatório parcial é
s_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} =\frac12\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\Bigr).
Essa soma é telescópica, pois os termos internos se cancelam, ficando
s_{n} =\frac12\Bigl(1-\frac{1}{2n+1}\Bigr).

Passo 4

Para ver a convergência, basta calcular
\lim_{n\to\infty}s_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac12\Bigl(1-\frac{1}{2n+1}\Bigr) =\frac12.
Como esse limite é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e
s_{n}=\frac12\Bigl(1-\frac{1}{2n+1}\Bigr).

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