As resultantes das três forças de tensão nos cabos de reação presos ao topo da torre
vertical devem equilibrar a força vertical atuante na torre. Todos os três cabos estão no mesmo plano vertical. Determine o valor da força vertical
atuante na torre.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o valor da força vertical
atuante na torre, sabendo que as resultantes das três forças de tensão nos cabos presos ao topo da torre devem equilibrar essa força vertical.
Informações dadas no enunciado:
- Existem três cabos, todos no mesmo plano vertical, presos ao topo da torre.
- As tensões nesses cabos (vamos chamar de
, , ) e as direções/ângulos dos cabos não foram especificadas no enunciado que foi enviado.
Observação importante sobre os dados:
- Sem os valores das tensões
e/ou as direções geométricas dos cabos (ângulos ou coordenadas dos pontos de ancoragem), não é possível calcular numericamente . - Vou explicar passo a passo o método que se usa em prova para obter
quando esses dados estiverem disponíveis, e vou mostrar a fórmula final que relaciona com as tensões e ângulos. Assim, na prova, bastará substituir os números.
Passo 2
Escolha de eixos e equação de equilíbrio (ideia física e vetorial)
- Para problemas de equilíbrio de forças, usamos a condição de equilíbrio estático:
- Aqui as forças que atuam no topo da torre são as três tensões
(cada uma puxando ao longo do respectivo cabo) e a força vertical (força atuante na torre que precisa ser equilibrada). - Então a equação vetorial é
- Como todos os cabos e
estão no mesmo plano vertical, podemos resolver em duas componentes 2D: horizontal (eixo ) e vertical (eixo ). Tome como vertical apontando para cima e horizontal no plano dos cabos.
Passo 3
Decomposição das tensões em componentes e dedução da expressão para
- Cada tensão
tem uma componente horizontal e uma componente vertical . A componente vertical é a que contribui para equilibrar a força vertical . - Se os ângulos que os cabos fazem com a vertical forem
(ângulo medido a partir da vertical; positivo para um lado, negativo para o outro, conforme convenção), então a decomposição de cada tensão fica, assumindo que a direção da componente vertical aponta para cima quando o cabo puxa para cima:
onde
é o versor horizontal e
é o versor vertical (para cima). Explicando: quando
(cabo alinhado verticalmente), a componente vertical é
e a horizontal é zero; por isso
vai na vertical.
- Separando componentes horizontais e verticais na equação de equilíbrio:
horizontal:
vertical:
- Aqui
é a componente vertical de . Se for uma força para baixo (sintoma comum: torre sofrendo carga para baixo), então com como magnitude; para simplicidade de leitura, escrevemos a igualdade de magnitudes: a soma das componentes verticais das tensões (para cima) deve igualar a magnitude da força vertical (para baixo). Assim, em módulo:
- Observação sobre sinais: se alguma componente vertical de uma tensão for para baixo (caso geométrico raro para cabos típicos), entrarão sinais negativos; a forma geral é usar a equação vetorial com atenção aos sinais. A expressão acima assume que as componentes verticais das tensões apontam para cima (como acontece quando cabos puxam para cima no topo da torre).
Passo 4
Se os ângulos forem dados a partir da horizontal (caso comum)
- Às vezes os ângulos são fornecidos em relação à horizontal, digamos
medidos da horizontal ao cabo. Então a componente vertical de é
porque
dá a projeção vertical se
é o ângulo a partir da horizontal. Nesse caso a fórmula para a magnitude de
vira:
- Regra prática: identifique com que referencial o ângulo foi medido; vertical -> use
, horizontal -> use .
Passo 5
Se não houver ângulos, mas houver coordenadas dos pontos de ancoragem (método vectorial com vetores posição)
- Suponha que o topo da torre esteja na origem e cada cabo vá ao ponto de ancoragem
no mesmo plano vertical (com negativo para pontos abaixo). O vetor direção do cabo é . O versor na direção do cabo é
- A tensão gera a força
. A componente vertical de é então
- A força vertical total
(magnitude) que deve ser equilibrada é a soma das componentes verticais (com o sinal apropriado). Em módulo, tomando como magnitude para baixo:
novamente observando sinais conforme o sinal de
e a direção das componentes.
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (para treinar e saber o que fazer na prova)
- Suponha que os dados da prova sejam:
com (a partir da vertical, para a direita), com (para a esquerda), com (vertical). Então:
componentes verticais:
- Calcula-se cada cosseno (na prova pode-se usar tabela ou calculadora, aqui só para exemplo):
- Assim
- Soma das componentes verticais:
- Esse cálculo ilustra o procedimento: decompor, somar as componentes verticais e interpretar o sinal.
Passo 7
Resumo prático (o que escrever em prova)
- Desenhe o diagrama de corpo livre no topo da torre, indicando
e . Escolha eixos (horizontal) e (vertical para cima). - Escreva
e . Use essas equações para verificar equilíbrio horizontal e obter relações entre tensões se necessário. - A partir de
obtenha como a soma (com sinais) das componentes verticais das tensões. - Substitua os valores numéricos fornecidos (tensões e ângulos ou coordenadas) para obter o valor numérico de
.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
com os dados fornecidos (faltam os valores das tensões e/ou as direções dos cabos).
Em termos gerais, se os ângulos dos cabos em relação à vertical são
e as tensões são
, então