Uma reta perpendicular a uma face de um diedro forma um ângulo de 50^{\circ} com o bissetor desse diedro. Quanto mede o diedro?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com clareza):
  • Há um diedro formado por duas faces (dois planos) que se intersectam ao longo de uma aresta. O enunciado pede: “Quanto mede o diedro?” — ou seja, quer a medida do ângulo diedro entre as duas faces.
  • Existe uma reta que é perpendicular a uma das faces do diedro.
  • Essa reta forma um ângulo de 50^\circ com o bissetor do diedro (o bissetor aqui é o plano que divide o diedro em dois ângulos iguais).
O que precisamos encontrar é a medida do ângulo entre as duas faces do diedro, que chamarei de \theta.

Passo 2

Ideia geométrica e redução para um problema em plano (fatiamento): explicar por que podemos trabalhar em 2D.
  • Pegue um ponto O da aresta comum às duas faces. Considere um plano \Pi que passe por O e seja perpendicular à aresta. Esse plano \Pi é um “fatiamento”: a interseção de \Pi com cada face é uma reta que passa por O. Essas duas retas em \Pi formam exatamente o ângulo diedro \theta.
  • O bissetor do diedro (um plano) intersecta \Pi numa reta que é o bissetor do ângulo entre as duas retas em \Pi.
  • A reta que é perpendicular a uma das faces e passa por O está contida em \Pi (porque é perpendicular à aresta e \Pi foi escolhido perpendicular à aresta). Na interseção com \Pi essa reta aparece como uma reta passando por O e perpendicular à reta que representa a face correspondente.
Portanto, tudo pode ser analisado no plano \Pi: temos duas retas que se encontram em O com ângulo \theta, seu bissetor, e uma reta perpendicular a uma das faces que forma 50^\circ com o bissetor. Isso nos transforma num problema de ângulos em um plano — bem mais simples.

Passo 3

Desenho mental e definição de ângulos no plano \Pi: organizar as medidas.
  • Denote as duas retas em \Pi por r_1 e r_2, que se encontram em O e formam ângulo \theta.
  • O bissetor da região entre r_1 e r_2 é a reta b passando por O que divide \theta em duas partes iguais; portanto b faz ângulo \dfrac{\theta}{2} com r_1 (e também com r_2).
  • A reta l (interseção da reta perpendicular à face com \Pi) é perpendicular a r_1, então o ângulo formado por l com r_1 é 90^\circ.
  • O enunciado diz que o ângulo entre l e b é 50^\circ. Em termos de medidas angulares no plano, isso significa que a diferença entre os argumentos (direções) de l e de b é 50^\circ. Assim podemos escrever a relação
\left|\,90^\circ - \dfrac{\theta}{2}\right| = 50^\circ.
Expliquei: 90^\circ é o ângulo entre l e r_1; \dfrac{\theta}{2} é o ângulo entre b e r_1; a diferença entre esses dois é o ângulo entre l e b, em módulo.

Passo 4

Resolver a equação para \theta. Vamos resolver a igualdade
\left|\,90^\circ - \dfrac{\theta}{2}\right| = 50^\circ.
Isso gera duas possibilidades (casos):
Caso 1:
90^\circ - \dfrac{\theta}{2} = 50^\circ \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{\theta}{2} = 40^\circ \quad\Longrightarrow\quad \theta = 80^\circ.
Caso 2:
90^\circ - \dfrac{\theta}{2} = -50^\circ \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{\theta}{2} = 140^\circ \quad\Longrightarrow\quad \theta = 280^\circ.

Passo 5

Interpretação e escolha da solução fisicamente aceitável.
  • O ângulo diedro \theta é um ângulo entre dois planos e assume valor entre 0^\circ e 180^\circ (medida menor do ângulo entre as faces). A solução \theta = 280^\circ está fora desse intervalo e corresponde ao suplemento de uma outra representação; não é a medida do diedro que se costuma pedir.
  • Portanto a solução válida é
\theta = 80^\circ.

Resposta

80^\circ

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