A Ruína do Jogador. Dois jogadores, A e B, têm capitais iniciais de i e N-i reais, respectivamente. Eles apostam 1 real em cada rodada de um jogo onde a probabilidade de A vencer é p e a de B vencer é q=1-p. O jogo termina quando um dos jogadores fica com capital zero.
(a) Mostre que, se p=1 / 2, a probabilidade de o jogador A ser arruinado é 1-(i / N).
(b) O que acontece com essa probabilidade se o jogador B tiver um capital infinito?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: o jogador A tem capital inicial i e o jogador B tem capital inicial N-i.
  • Em cada rodada aposta-se 1 real: com probabilidade p ganha A (o capital de A aumenta em 1) e com probabilidade q=1-p ganha B (o capital de A diminui em 1).
  • O jogo termina quando algum jogador chega a 0 (ou seja, quando A tem 0 ou N).
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que, se p=\tfrac{1}{2}, a probabilidade de o jogador A ser arruinado (isto é, atingir 0 antes de atingir N) é 1-\dfrac{i}{N}.
    (b) O que acontece com essa probabilidade se o jogador B tiver capital infinito (isto é, ao fazer N\to\infty)?

Passo 2

Defino uma notação conveniente e as condições de contorno.
  • Seja u_i a probabilidade de que A seja arruinado começando com capital i, para i=0,1,\dots,N.
  • Condições óbvias: \,u_0=1 (se A já tem 0, está arruinado com probabilidade 1) e \,u_N=0 (se A já tem N, B está arruinado e A não será arruinado).

Passo 3

Escrevo a equação de recorrência por análise de um passo (condicionamento no resultado da primeira rodada).
Se A tem i reais, na próxima rodada:
  • com probabilidade p passa a ter i+1 e a probabilidade de ruína então é u_{i+1};
  • com probabilidade q passa a ter i-1 e a probabilidade de ruína então é u_{i-1}.
    Pelo princípio da probabilidade total temos, para 1\le i\le N-1,
u_i = p\,u_{i+1} + q\,u_{i-1}.
Essa é a equação fundamental (uma equação de diferenças de segunda ordem).

Passo 4

Especializo ao caso p=\tfrac{1}{2}. Substituindo p=q=\tfrac{1}{2} na recorrência:
u_i = \tfrac{1}{2}u_{i+1} + \tfrac{1}{2}u_{i-1}.
Multiplicando por 2 e rearranjando:
u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1} = 0.
Essa é uma equação de diferenças homogênea cuja solução geral é uma função afim (linear) de i. Ou seja, existe constantes A,B tais que
u_i = A + B i.
Explico por que: a diferença segunda nula significa que as diferenças primeiras são constantes, logo a sequência é uma progressão aritmética.

Passo 5

Determino A e B usando as condições de contorno.
Usando u_0=1:
u_0 = A + B\cdot 0 = A = 1.
Usando u_N=0:
u_N = 1 + B N = 0 \quad\Rightarrow\quad B = -\frac{1}{N}.
Logo, para 0\le i\le N,
u_i = 1 - \frac{i}{N}.
Isto prova a afirmação pedida em (a): a probabilidade de A ser arruinado é 1-\dfrac{i}{N} quando p=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Agora respondo (b): supondo que o jogador B tenha capital infinito corresponde a tomar o limite N\to\infty mantendo i fixo. A partir de \,u_i = 1-\dfrac{i}{N},
\lim_{N\to\infty} u_i = \lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{i}{N}\right) = 1.
Portanto, no caso justo ( p=\tfrac{1}{2}) e com B de capital infinito, a probabilidade de A ser arruinado é 1: A será arruinado com probabilidade 1 (ou seja, “quase certo” que eventualmente A raggiunge 0).

Passo 7

Breve comentário adicional (útil para prova): a análise acima é o caso p=\tfrac{1}{2}. Para referência, no caso geral p\neq\tfrac{1}{2} a solução da recorrência é
u_i = C_1 + C_2\left(\frac{q}{p}\right)^i,
e, ao tomar N\to\infty e impor comportamento razoável no infinito, obtém-se:
  • se p\le q então \lim_{N\to\infty} u_i = 1 (ruína certa);
  • se p>q então \lim_{N\to\infty} u_i = \left(\dfrac{q}{p}\right)^i <1.
    Isto dá a ideia completa do que ocorre quando o adversário tem capital infinito em qualquer caso de p.

Resposta

(a) 1-\dfrac{i}{N}
(b) Tomando N\to\infty (com p=\tfrac{1}{2}) a probabilidade tende a 1.

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