A Ruína do Jogador. Dois jogadores,
e
, têm capitais iniciais de
e
reais, respectivamente. Eles apostam 1 real em cada rodada de um jogo onde a probabilidade de
vencer é
e a de
vencer é
. O jogo termina quando um dos jogadores fica com capital zero.
(a) Mostre que, se
, a probabilidade de o jogador
ser arruinado é
.
(b) O que acontece com essa probabilidade se o jogador
tiver um capital infinito?
(a) Mostre que, se
(b) O que acontece com essa probabilidade se o jogador
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados: o jogador
tem capital inicial e o jogador tem capital inicial . - Em cada rodada aposta-se
real: com probabilidade ganha (o capital de aumenta em ) e com probabilidade ganha (o capital de diminui em ). - O jogo termina quando algum jogador chega a
(ou seja, quando tem ou ). - Perguntas:
(a) Mostrar que, se, a probabilidade de o jogador ser arruinado (isto é, atingir antes de atingir ) é .
(b) O que acontece com essa probabilidade se o jogadortiver capital infinito (isto é, ao fazer )?
Passo 2
Defino uma notação conveniente e as condições de contorno.
- Seja
a probabilidade de que seja arruinado começando com capital , para . - Condições óbvias:
(se já tem , está arruinado com probabilidade ) e (se já tem , está arruinado e não será arruinado).
Passo 3
Escrevo a equação de recorrência por análise de um passo (condicionamento no resultado da primeira rodada).
Se tem
reais, na próxima rodada:
Se
- com probabilidade
passa a ter e a probabilidade de ruína então é ; - com probabilidade
passa a ter e a probabilidade de ruína então é .
Pelo princípio da probabilidade total temos, para,
Essa é a equação fundamental (uma equação de diferenças de segunda ordem).
Passo 4
Especializo ao caso
. Substituindo
na recorrência:
Multiplicando por
e rearranjando:
Essa é uma equação de diferenças homogênea cuja solução geral é uma função afim (linear) de
. Ou seja, existe constantes
tais que
Explico por que: a diferença segunda nula significa que as diferenças primeiras são constantes, logo a sequência é uma progressão aritmética.
Passo 5
Determino
e
usando as condições de contorno.
Usando :
Usando
Usando
:
Logo, para
,
Isto prova a afirmação pedida em (a): a probabilidade de
ser arruinado é
quando
.
Passo 6
Agora respondo (b): supondo que o jogador
tenha capital infinito corresponde a tomar o limite
mantendo
fixo. A partir de
,
Portanto, no caso justo (
) e com
de capital infinito, a probabilidade de
ser arruinado é
:
será arruinado com probabilidade
(ou seja, “quase certo” que eventualmente
raggiunge
).
Passo 7
Breve comentário adicional (útil para prova): a análise acima é o caso
. Para referência, no caso geral
a solução da recorrência é
e, ao tomar
e impor comportamento razoável no infinito, obtém-se:
- se
então (ruína certa); - se
então .
Isto dá a ideia completa do que ocorre quando o adversário tem capital infinito em qualquer caso de.
Resposta
(a)
(b) Tomando (com
) a probabilidade tende a
.
(b) Tomando