Sabe-se que
dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. Estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos,
não haja mais do que 3 parafusos defeituosos.
não haja mais do que 3 parafusos defeituosos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem claro o que temos e o que é pedido):
- Tamanho do pacote:
parafusos. - Proporção de defeituosos:
(ou seja, a probabilidade de um parafuso, escolhido ao acaso, ser defeituoso é ). - Pergunta: estimar a probabilidade de que, num pacote com
parafusos, não haja mais do que parafusos defeituosos. Em notação de evento, queremos , onde é o número de parafusos defeituosos no pacote.
Passo 2
Que método usar? Aqui é comum modelar
por uma distribuição discreta de contagem (cada parafuso é defeituoso ou não). O enunciado não exige um método específico, então avalio as condições:
é grande (
) e
é pequeno (
). Nessas circunstâncias é muito prático e apropriado usar a aproximação de Poisson para a distribuição de contagem, porque simplifica os cálculos e costuma dar boa precisão quando
é grande e
é pequeno (com
razoável). Vou, portanto, usar a aproximação de Poisson e explicar por que ela vale:
- Ideia da aproximação: quando se tem muitas tentativas independentes (
grande) com pequena probabilidade de sucesso ( pequeno), o número de sucessos pode ser aproximado por uma variável com parâmetro . - Aqui,
e satisfazem essa condição prática, então a aproximação é adequada.
Passo 3
Calcular o parâmetro
da Poisson a partir dos dados dados:
Portanto, vou aproximar
por
.
Passo 4
Lembrando a fórmula da massa de probabilidade da Poisson: para
,
onde:
-
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ), -
é a média e variância da Poisson, -
significa fatorial de ( , , , , etc.).
Nosso objetivo é:
Passo 5
Calcular termo a termo (vou mostrar cada passo numérico):
Primeiro, usar . Um valor prático e comum é
.
Primeiro, usar
Agora os termos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando os quatro termos:
Arredondando de forma conveniente, obtemos aproximadamente
, ou seja, cerca de
.
Passo 6
Interpretação rápida e confiança na resposta:
- A aproximação de Poisson com
é adequada aqui, pois é grande e é pequeno; o erro dessa aproximação costuma ser pequeno para esses parâmetros. Logo a estimativa é uma boa resposta prática para a probabilidade pedida. - Se precisar de maior precisão em prova, pode-se procurar uma tabela de Poisson acumulada para
ou calcular os termos binomiais exatos (mas esses últimos dão conta com cálculo mais pesado: ) — por isso a Poisson é preferida para rapidez.