Sabe-se que 0,5 \% dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. Estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos,
não haja mais do que 3 parafusos defeituosos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem claro o que temos e o que é pedido):
  • Tamanho do pacote: n=1000 parafusos.
  • Proporção de defeituosos: 0,5\% = 0,005 (ou seja, a probabilidade de um parafuso, escolhido ao acaso, ser defeituoso é p=0,005).
  • Pergunta: estimar a probabilidade de que, num pacote com 1000 parafusos, não haja mais do que 3 parafusos defeituosos. Em notação de evento, queremos \mathbb{P}(X \le 3), onde X é o número de parafusos defeituosos no pacote.

Passo 2

Que método usar? Aqui é comum modelar X por uma distribuição discreta de contagem (cada parafuso é defeituoso ou não). O enunciado não exige um método específico, então avalio as condições: n é grande ( 1000) e p é pequeno ( 0,005). Nessas circunstâncias é muito prático e apropriado usar a aproximação de Poisson para a distribuição de contagem, porque simplifica os cálculos e costuma dar boa precisão quando n é grande e p é pequeno (com np razoável). Vou, portanto, usar a aproximação de Poisson e explicar por que ela vale:
  • Ideia da aproximação: quando se tem muitas tentativas independentes ( n grande) com pequena probabilidade de sucesso ( p pequeno), o número de sucessos X pode ser aproximado por uma variável \operatorname{Poisson}(\lambda) com parâmetro \lambda = np.
  • Aqui, n=1000 e p=0,005 satisfazem essa condição prática, então a aproximação é adequada.

Passo 3

Calcular o parâmetro \lambda da Poisson a partir dos dados dados:
\lambda = n p = 1000 \times 0,005 = 5.
Portanto, vou aproximar X por Y\sim\operatorname{Poisson}(\lambda=5).

Passo 4

Lembrando a fórmula da massa de probabilidade da Poisson: para Y\sim\operatorname{Poisson}(\lambda),
\mathbb{P}(Y=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. e\approx2,7182818),
  • \lambda é a média e variância da Poisson,
  • k! significa fatorial de k ( 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, etc.).
Nosso objetivo é:
\mathbb{P}(X\le 3)\approx \mathbb{P}(Y\le 3)=\sum_{k=0}^{3} e^{-5}\frac{5^{k}}{k!}.

Passo 5

Calcular termo a termo (vou mostrar cada passo numérico):
Primeiro, usar e^{-5}. Um valor prático e comum é e^{-5}\approx 0,006737947.
Agora os termos:
  • Para k=0:
e^{-5}\frac{5^{0}}{0!}=e^{-5}\cdot1=0,006737947.
  • Para k=1:
e^{-5}\frac{5^{1}}{1!}=e^{-5}\cdot5\approx 0,006737947\times5=0,033689735.
  • Para k=2:
e^{-5}\frac{5^{2}}{2!}=e^{-5}\frac{25}{2}=e^{-5}\cdot12{,}5\approx 0,006737947\times12{,}5=0,0842243375.
  • Para k=3:
e^{-5}\frac{5^{3}}{3!}=e^{-5}\frac{125}{6}=e^{-5}\cdot20{,}833333\ldots\approx 0,006737947\times20{,}833333=0,1403738958.
Somando os quatro termos:
0,006737947 + 0,033689735 + 0,0842243375 + 0,1403738958 \approx 0,2650259153.
Arredondando de forma conveniente, obtemos aproximadamente 0,2650, ou seja, cerca de 26{,}50\%.

Passo 6

Interpretação rápida e confiança na resposta:
  • A aproximação de Poisson com \lambda=5 é adequada aqui, pois n é grande e p é pequeno; o erro dessa aproximação costuma ser pequeno para esses parâmetros. Logo a estimativa \approx0,2650 é uma boa resposta prática para a probabilidade pedida.
  • Se precisar de maior precisão em prova, pode-se procurar uma tabela de Poisson acumulada para \lambda=5 ou calcular os termos binomiais exatos (mas esses últimos dão conta com cálculo mais pesado: \binom{1000}{k}p^{k}(1-p)^{1000-k}) — por isso a Poisson é preferida para rapidez.

Resposta

0,2650

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