Sabe-se que 0,5 \% dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. Estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos,
encontrem-se pelo menos 3 parafusos defeituosos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade.
  • Tamanho do pacote: n=1000 parafusos.
  • Probabilidade de um parafuso ser defeituoso: 0{,}5\% = 0{,}005.
  • Definir X como o número de parafusos defeituosos no pacote de 1000.
  • Pedido: calcular a probabilidade de que haja pelo menos 3 defeituosos, ou seja \mathbb{P}(X\ge 3).

Passo 2

Que método usar? Opções naturais:
  • Calcular exatamente com a distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p): \mathbb{P}(X\ge3)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{1000}{k}p^{k}(1-p)^{1000-k}. Isso é exato, mas envolve soma de termos com combinações grandes — trabalhoso à mão.
  • Aproximação de Poisson: quando n é grande, p é pequeno e np moderado, a binomial \mathrm{Bin}(n,p) pode ser aproximada por \mathrm{Poisson}(\lambda) com \lambda=np. Aqui n=1000 (grande), p=0{,}005 (pequeno) e np=5 (moderado). Portanto a aproximação de Poisson é apropriada e simples.
  • Aproximação normal também é possível, mas para contagens pequenas (3, 0,1,2) a Poisson costuma ser mais precisa.
Vou usar a aproximação de Poisson com \lambda = np.

Passo 3

Definir o modelo Poisson e calcular \lambda.
  • Se Y\sim\mathrm{Poisson}(\lambda) então \mathbb{P}(Y=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k}}{k!}.
  • Aqui tomamos \lambda = np = 1000\cdot 0{,}005 = 5.
  • Aproximamos X por Y\sim\mathrm{Poisson}(5).

Passo 4

Usar a distribuição de Poisson para calcular \mathbb{P}(X\ge 3) por complemento:
\mathbb{P}(X\ge 3)\approx 1-\sum_{k=0}^{2}\mathbb{P}(Y=k) =1-\sum_{k=0}^{2} e^{-5}\frac{5^{k}}{k!}.
Calcular termo a termo:
\mathbb{P}(Y=0)=e^{-5}, \qquad \mathbb{P}(Y=1)=e^{-5}\frac{5}{1}=5e^{-5}, \qquad \mathbb{P}(Y=2)=e^{-5}\frac{5^{2}}{2}=12{,}5\,e^{-5}.
Somando:
\sum_{k=0}^{2}\mathbb{P}(Y=k)=e^{-5}\bigl(1+5+12{,}5\bigr)=18{,}5\,e^{-5}.
Agora valor numérico: e^{-5}\approx 0{,}006737947. Logo
18{,}5\,e^{-5}\approx 18{,}5\times 0{,}006737947 \approx 0{,}124652.

Passo 5

Concluir pela probabilidade pedida:
\mathbb{P}(X\ge 3)\approx 1-0{,}124652 \approx 0{,}875348.
Em porcentagem, isso é aproximadamente 87{,}53\%. Boa notícia: é bastante provável aparecer ao menos 3 defeituosos num lote de 1000, dado p=0{,}5\%.

Resposta

\approx 0{,}87535

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