Sabe-se que
dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. Estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos,
encontrem-se pelo menos 3 parafusos defeituosos.
encontrem-se pelo menos 3 parafusos defeituosos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade.
- Tamanho do pacote:
parafusos. - Probabilidade de um parafuso ser defeituoso:
. - Definir
como o número de parafusos defeituosos no pacote de . - Pedido: calcular a probabilidade de que haja pelo menos 3 defeituosos, ou seja
.
Passo 2
Que método usar? Opções naturais:
- Calcular exatamente com a distribuição binomial
: . Isso é exato, mas envolve soma de termos com combinações grandes — trabalhoso à mão. - Aproximação de Poisson: quando
é grande, é pequeno e moderado, a binomial pode ser aproximada por com . Aqui (grande), (pequeno) e (moderado). Portanto a aproximação de Poisson é apropriada e simples. - Aproximação normal também é possível, mas para contagens pequenas (3, 0,1,2) a Poisson costuma ser mais precisa.
Vou usar a aproximação de Poisson com
.
Passo 3
Definir o modelo Poisson e calcular
.
- Se
então . - Aqui tomamos
. - Aproximamos
por .
Passo 4
Usar a distribuição de Poisson para calcular
por complemento:
Calcular termo a termo:
Somando:
Agora valor numérico:
. Logo
Passo 5
Concluir pela probabilidade pedida:
Em porcentagem, isso é aproximadamente
. Boa notícia: é bastante provável aparecer ao menos 3 defeituosos num lote de 1000, dado
.