Sabendo que:
\begin{aligned} & \sigma y=100 \mathrm{MPa} \\\ & \sigma x=200 \mathrm{MPa} \\\ & \tau x y=\tau y x=0 \end{aligned}
Construir o tensor e calcular as tensões principais tensão máxima de cisalhamento utilizando o círculo de Mohr.

Passo 1

O enunciado fornece os componentes do estado plano de tensões e pede para construir o tensor e, usando o círculo de Mohr, calcular as tensões principais e a tensão máxima de cisalhamento. Dados fornecidos:
\begin{aligned} & \sigma_y = 100\\ \mathrm{MPa} \\\ & \sigma_x = 200\\ \mathrm{MPa} \\\ & \tau_{xy}=\tau_{yx}=0\\ \mathrm{MPa} \end{aligned}
O que é pedido:
  • Construir o tensor de tensões (matriz 2D) correspondente a esses valores.
  • Calcular as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2.
  • Calcular a tensão máxima de cisalhamento \tau_{\max}, usando a construção do círculo de Mohr (e também indicar a relação entre centro e raio do círculo).

Passo 2

Construção do tensor de tensões em 2D (tensor de Cauchy plano). Em coordenadas cartesianas x,y o tensor (matriz simétrica) é:
\boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\\ \tau_{yx} & \sigma_y \end{pmatrix}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \sigma_x: tensão normal na direção x.
  • \sigma_y: tensão normal na direção y.
  • \tau_{xy} (igual a \tau_{yx} por simetria): tensão de cisalhamento no elemento.
Substituindo os valores dados:
\boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} 200 & 0 \\\\ 0 & 100 \end{pmatrix}\\ \text{(MPa)}.

Passo 3

Explicação teórica rápida (fórmulas que usaremos para tensões principais e círculo de Mohr).
  • No caso bidimensional, as tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} (autovalores da matriz) podem ser obtidas pela fórmula
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2} + \tau_{xy}^{2}}.
Aqui:
  • O termo \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} é o centro do círculo de Mohr (denotado por C).
  • O termo sob a raiz é o quadrado do raio do círculo; o raio do círculo de Mohr é
R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2} + \tau_{xy}^{2}}.
  • A tensão máxima de cisalhamento em plano é exatamente \tau_{\max}=R.
    Essas fórmulas são derivadas da equação característica (autovalores) da matriz 2\times2 ou geometricamente do círculo de Mohr (projeção das componentes (\sigma,\tau) num plano).

Passo 4

Calcular o centro C do círculo e o raio R usando os valores dados.
Primeiro o centro:
C = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \frac{200 + 100}{2} = \frac{300}{2} = 150\\ \text{MPa}.
Agora o raio (usar a fórmula do passo anterior):
R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2} + \tau_{xy}^{2}}.
Calculando cada termo:
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} = \frac{200 - 100}{2} = \frac{100}{2} = 50\\ \text{MPa},
e \tau_{xy}=0, logo
R = \sqrt{50^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2500} = 50\\ \text{MPa}.

Passo 5

A partir de C e R podemos escrever imediatamente as tensões principais:
\sigma_{1} = C + R,\qquad \sigma_{2} = C - R.
Substituindo:
\sigma_{1} = 150 + 50 = 200\\ \text{MPa},
\sigma_{2} = 150 - 50 = 100\\ \text{MPa}.
Isso confirma que, com \tau_{xy}=0, as tensões principais coincidem com \sigma_x e \sigma_y (a orientação principal coincide com os eixos dados).

Passo 6

Tensão máxima de cisalhamento: pelo círculo de Mohr a máxima tensão de cisalhamento em plano é igual ao raio:
\tau_{\max} = R = 50\\ \text{MPa}.
Interpretação: em alguma orientação (plano cortado a 45° das direções principais quando \sigma_x\ne\sigma_y) aparece essa máxima tensão de cisalhamento. Como \tau_{xy}=0 aqui, os planos de máxima tensão normal já são os eixos principais.

Passo 7

Ângulo das direções principais (opcional, mas útil para prova). A fórmula para o ângulo \theta_p entre o eixo x e a direção principal é dada por
\tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}.
Com \tau_{xy}=0 e \sigma_x\ne\sigma_y tem-se \tan(2\theta_p)=0, então 2\theta_p = 0^\circ ou 180^\circ. Assim \theta_p = 0^\circ ou 90^\circ; ou seja, as direções principais são precisamente os eixos x e y, não havendo rotação necessária.

Passo 8

Resumo numérico e interpretação final:
  • Tensor de tensões (em MPa): \displaystyle \boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix}200 & 0\\[4pt]0 & 100\end{pmatrix}.
  • Tensões principais: \displaystyle \sigma_{1}=200\\ \text{MPa},\\ \sigma_{2}=100\\ \text{MPa}.
  • Tensão máxima de cisalhamento: \displaystyle \tau_{\max}=50\\ \text{MPa}.
  • Direções principais: coincidem com os eixos x e y (nenhuma rotação necessária).]

Resposta

\boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix}200 & 0\\[4pt]0 & 100\end{pmatrix}\\ \text{MPa}
\sigma_{1}=200\\ \text{MPa}
\sigma_{2}=100\\ \text{MPa}
\tau_{\max}=50\\ \text{MPa}]

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