Sabendo que:
r_{n}=a_{0} n^{2}
e que a diferença entre os raios das órbitas n+3 e n é:
\Delta r=21 a_{0}
Determine:
  • o valor de n
  • os comprimentos de onda (em nm ) dos fótons emitidos nas transições:
  • n+3 \rightarrow n+1
  • $n+3 \rightarrow n

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A expressão do raio da órbita n é \displaystyle r_{n}=a_{0} n^{2}.
  • A diferença entre os raios das órbitas n+3 e n vale \displaystyle \Delta r =21\,a_{0}.
O que o problema pede:
  1. Determinar o valor de n.
  2. Calcular os comprimentos de onda (em nm) dos fótons emitidos nas transições:
    • n+3 \rightarrow n+1
    • n+3 \rightarrow n

Passo 2

Calcular a diferença \Delta r em função de n. Usando a fórmula dada:
\Delta r = r_{n+3}-r_{n} = a_{0}\bigl((n+3)^{2}-n^{2}\bigr).
Desenvolvendo o quadrado:
(n+3)^{2}-n^{2} = (n^{2}+6n+9)-n^{2}=6n+9.
Portanto
\Delta r = a_{0}(6n+9).
Pelo enunciado temos \Delta r =21\,a_{0}. Igualando:
a_{0}(6n+9)=21\,a_{0}.
Cancelando a_{0} (assumindo a_{0}\neq0):
6n+9=21.
Resolvendo para n:
6n=12\quad\Rightarrow\quad n=2.

Passo 3

Agora que sabemos n=2, vamos calcular os comprimentos de onda das transições. Vou explicar as fórmulas que usamos (passo-a-passo, como se fosse na prova).
  • Nos níveis de Bohr para o átomo de hidrogênio, a energia do nível n é dada por
E_{n}=-\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^{2}},
onde E_{n} é a energia do elétron no nível n (valor negativo indica estado ligado) e 13{,}6\\ \text{eV} é a energia de ionização do nível n=1.
  • Quando um elétron faz uma transição do nível inicial n_i para o nível final n_f (com n_i>n_f), a energia do fóton emitido é
\Delta E = E_{n_i}-E_{n_f},
que é um número positivo (porque E_{n_i} é menos negativo).
  • O comprimento de onda \lambda do fóton está ligado à energia pela relação
\lambda = \dfrac{hc}{\Delta E}.
Para praticidade em unidades de elétron-volt e nanômetros usamos a aproximação
hc \approx 1240\\ \text{eV}\cdot\text{nm}.
Assim, em unidades práticas,
\lambda\\ (\text{nm}) \approx \dfrac{1240}{\Delta E\\ (\text{eV})}.

Passo 4

Cálculo para a transição n+3 \rightarrow n+1. Como n=2, isto é a transição 5 \rightarrow 3.
  • Calcular E_{5} e E_{3}:
E_{5}=-\dfrac{13{,}6}{5^{2}}=-\dfrac{13{,}6}{25}=-0{,}544\\ \text{eV},
E_{3}=-\dfrac{13{,}6}{3^{2}}=-\dfrac{13{,}6}{9}\approx -1{,}511111\\ \text{eV}.
  • Energia do fóton emitido:
\Delta E = E_{5}-E_{3}=(-0{,}544)-(-1{,}511111)=0{,}967111\\ \text{eV}.
  • Comprimento de onda:
\lambda = \dfrac{1240}{0{,}967111}\\ \text{nm}\approx 1281{,}7\\ \text{nm}.

Passo 5

Cálculo para a transição n+3 \rightarrow n. Com n=2, isto é a transição 5 \rightarrow 2.
  • Calcular E_{2} (já temos E_{5} acima):
E_{2}=-\dfrac{13{,}6}{2^{2}}=-\dfrac{13{,}6}{4}=-3{,}4\\ \text{eV},
E_{5}=-0{,}544\\ \text{eV}\\ (\text{do passo anterior}).
  • Energia do fóton emitido:
\Delta E = E_{5}-E_{2}=(-0{,}544)-(-3{,}4)=2{,}856\\ \text{eV}.
  • Comprimento de onda:
\lambda = \dfrac{1240}{2{,}856}\\ \text{nm}\approx 434{,}3\\ \text{nm}.

Passo 6

Interpretação rápida para te animar: a linha com \lambda\approx 1281{,}7\\ \text{nm} está no infravermelho próximo; a linha com \lambda\approx 434{,}3\\ \text{nm} está na região visível (azul/violeta). Boa! Está indo bem — essa rotina de derivar energia por níveis e usar hc é padrão em provas.

Resposta

n=2
\lambda_{\,n+3\to n+1}=\lambda_{5\to3}\approx 1281{,}7\\ \text{nm}
\lambda_{\,n+3\to n}=\lambda_{5\to2}\approx 434{,}3\\ \text{nm}

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