Sabendo que:
e que a diferença entre os raios das órbitas
e
é:
Determine:
- o valor de
- os comprimentos de onda (em nm ) dos fótons emitidos nas transições:
-
- $n+3 \rightarrow n
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A expressão do raio da órbita
é . - A diferença entre os raios das órbitas
e vale .
O que o problema pede:
- Determinar o valor de
. - Calcular os comprimentos de onda (em nm) dos fótons emitidos nas transições:
-
Passo 2
Calcular a diferença
em função de
. Usando a fórmula dada:
Desenvolvendo o quadrado:
Portanto
Pelo enunciado temos
. Igualando:
Cancelando
(assumindo
):
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora que sabemos
, vamos calcular os comprimentos de onda das transições. Vou explicar as fórmulas que usamos (passo-a-passo, como se fosse na prova).
- Nos níveis de Bohr para o átomo de hidrogênio, a energia do nível
é dada por
onde
é a energia do elétron no nível
(valor negativo indica estado ligado) e
é a energia de ionização do nível
.
- Quando um elétron faz uma transição do nível inicial
para o nível final (com ), a energia do fóton emitido é
que é um número positivo (porque
é menos negativo).
- O comprimento de onda
do fóton está ligado à energia pela relação
Para praticidade em unidades de elétron-volt e nanômetros usamos a aproximação
Assim, em unidades práticas,
Passo 4
Cálculo para a transição
. Como
, isto é a transição
.
- Calcular
e :
- Energia do fóton emitido:
- Comprimento de onda:
Passo 5
Cálculo para a transição
. Com
, isto é a transição
.
- Calcular
(já temos acima):
- Energia do fóton emitido:
- Comprimento de onda:
Passo 6
Interpretação rápida para te animar: a linha com
está no infravermelho próximo; a linha com
está na região visível (azul/violeta). Boa! Está indo bem — essa rotina de derivar energia por níveis e usar
é padrão em provas.