Sabendo que, no modelo de Bohr, o raio da órbita é dado por:
onde
é o raio de Bohr, suponha que a diferença entre os raios das órbitas
e
seja:
Determine:
- o valor de
- os comprimentos de onda (em nm ) dos fótons emitidos nas transições:
-
- $n+2 \rightarrow n+1
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informação: a expressão do raio no modelo de Bohr é
onde é o raio de Bohr. - Informação: a diferença entre os raios das órbitas
e é - Perguntas:
- Determinar o valor de
. - Determinar os comprimentos de onda (em nm) dos fótons emitidos nas transições:
-
- Determinar o valor de
É isso que vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a diferença de raios usando a fórmula dada. A diferença entre o raio da órbita
e o raio da órbita
é
Agora desenvolve a diferença de quadrados:
Portanto
Pelo enunciado
. Igualando:
Cancelando
(assumindo
) e dividindo por
:
Passo 3
Interpretação do resultado:
. Então
. As transições pedidas são, numericamente,
e
. (Confira que a diferença de raios realmente dá
, ok.)
Passo 4
Agora precisamos achar os comprimentos de onda dos fótons emitidos nessas transições. No modelo de Bohr a energia do elétron no nível
(para o átomo de hidrogênio) é dada por
Explicando: o número
é a energia do nível fundamental em módulo; o sinal negativo indica que o elétron está ligado. Para uma transição de um nível inicial
para um nível final
(com
) a energia do fóton emitido é a diferença
(Usei a forma positiva à direita porque
numericamente, i.e., menos negativo.)
Para converter energia em comprimento de onda usamos a relação
onde
é a constante de Planck e
a velocidade da luz. É prático usar a constante combinada em unidades convenientes:
Assim
Passo 5
Cálculo para a transição
(
,
):
Energia do fóton:
Fazendo as contas passo a passo:
Comprimento de onda:
Passo 6
Cálculo para a transição
(
,
):
Energia do fóton:
Fazendo as contas:
Comprimento de onda:
Passo 7
Resumo final e observações rápidas (animação e motivação): achamos que
, então as emissões são de
(ultravioleta,
) e
(linha visível vermelha da série de Balmer,
). Se estiver nervoso para a prova, decore a rotina: (1) achar
via geometria pedida; (2) usar
; (3) usar
com
em eV — dá tudo certo. Força, você consegue!