Sabendo que, no modelo de Bohr, o raio da órbita é dado por:
r_{n}=a_{0} n^{2}
onde a_{0} é o raio de Bohr, suponha que a diferença entre os raios das órbitas n+2 e n seja:
\Delta r=8 a_{0}
Determine:
  • o valor de n
  • os comprimentos de onda (em nm ) dos fótons emitidos nas transições:
  • n+2 \rightarrow n
  • $n+2 \rightarrow n+1

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informação: a expressão do raio no modelo de Bohr é r_{n}=a_{0} n^{2}, onde \,a_{0} é o raio de Bohr.
  • Informação: a diferença entre os raios das órbitas n+2 e n é \Delta r = 8\,a_{0}.
  • Perguntas:
    1. Determinar o valor de n.
    2. Determinar os comprimentos de onda (em nm) dos fótons emitidos nas transições:
      • n+2 \rightarrow n
      • n+2 \rightarrow n+1
É isso que vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a diferença de raios usando a fórmula dada. A diferença entre o raio da órbita n+2 e o raio da órbita n é
\Delta r = r_{n+2}-r_{n} = a_{0}\big((n+2)^{2}-n^{2}\big).
Agora desenvolve a diferença de quadrados:
(n+2)^{2}-n^{2} = (n^{2}+4n+4)-n^{2}=4n+4=4(n+1).
Portanto
\Delta r = a_{0}\cdot 4(n+1).
Pelo enunciado \Delta r = 8\,a_{0}. Igualando:
4\,a_{0}(n+1)=8\,a_{0}.
Cancelando a_{0} (assumindo a_{0}\neq0) e dividindo por 4:
n+1=2 \quad\Rightarrow\quad n=1.

Passo 3

Interpretação do resultado: \,n=1. Então n+2=3. As transições pedidas são, numericamente, 3\rightarrow1 e 3\rightarrow2. (Confira que a diferença de raios realmente dá r_{3}-r_{1}=a_{0}(9-1)=8\,a_{0}, ok.)

Passo 4

Agora precisamos achar os comprimentos de onda dos fótons emitidos nessas transições. No modelo de Bohr a energia do elétron no nível n (para o átomo de hidrogênio) é dada por
E_{n}=-\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^{2}}.
Explicando: o número 13{,}6\\ \text{eV} é a energia do nível fundamental em módulo; o sinal negativo indica que o elétron está ligado. Para uma transição de um nível inicial n_{i} para um nível final n_{f} (com n_{i}>n_{f}) a energia do fóton emitido é a diferença
E_{\text{fóton}}=E_{n_{i}}-E_{n_{f}}=13{,}6\\ \text{eV}\!\left(\dfrac{1}{n_{f}^{2}}-\dfrac{1}{n_{i}^{2}}\right).ó
(Usei a forma positiva à direita porque E_{n_{i}}>E_{n_{f}} numericamente, i.e., menos negativo.)
Para converter energia em comprimento de onda usamos a relação
\lambda=\dfrac{hc}{E_{\text{fóton}}},ó
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz. É prático usar a constante combinada em unidades convenientes:
hc\approx 1240\\ \text{eV}\cdot\text{nm}.
Assim
\lambda\\ (\text{em nm}) \approx \dfrac{1240}{E_{\text{fóton}}\\ (\text{em eV})}.ó

Passo 5

Cálculo para a transição 3\rightarrow1 ( n_{i}=3, n_{f}=1):
Energia do fóton:
E_{\text{3}\to1}=13{,}6\left(\dfrac{1}{1^{2}}-\dfrac{1}{3^{2}}\right) =13{,}6\left(1-\dfrac{1}{9}\right) =13{,}6\cdot\dfrac{8}{9}.
Fazendo as contas passo a passo:
13{,}6\cdot\dfrac{8}{9}=\dfrac{108{,}8}{9}\approx 12{,}088888\\ \text{eV}.
Comprimento de onda:
\lambda_{3\to1}=\dfrac{1240}{12{,}088888\\ } \approx 102{,}58\\ \text{nm}.

Passo 6

Cálculo para a transição 3\rightarrow2 ( n_{i}=3, n_{f}=2):
Energia do fóton:
E_{\text{3}\to2}=13{,}6\left(\dfrac{1}{2^{2}}-\dfrac{1}{3^{2}}\right) =13{,}6\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}\right) =13{,}6\cdot\dfrac{5}{36}.
Fazendo as contas:
13{,}6\cdot\dfrac{5}{36}=\dfrac{68}{36}=\dfrac{34}{18}=\dfrac{17}{9}\approx 1{,}8888889\\ \text{eV}.
Comprimento de onda:
\lambda_{3\to2}=\dfrac{1240}{1{,}8888889\\ } \approx 656{,}3\\ \text{nm}.

Passo 7

Resumo final e observações rápidas (animação e motivação): achamos que n=1, então as emissões são de 3\rightarrow1 (ultravioleta, \sim102{,}6\\ \text{nm}) e 3\rightarrow2 (linha visível vermelha da série de Balmer, \sim656{,}3\\ \text{nm}). Se estiver nervoso para a prova, decore a rotina: (1) achar n via geometria pedida; (2) usar E_{n}=-13{,}6/n^{2}; (3) usar \lambda=1240/E com E em eV — dá tudo certo. Força, você consegue!

Resposta

\,n=1
\lambda_{n+2\to n}=\lambda_{3\to1}=102{,}6\\ \text{nm}
\lambda_{n+2\to n+1}=\lambda_{3\to2}=656{,}3\\ \text{nm}

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