Sabendo que \operatorname{sen}(x)=\frac{-3}{4} e que x é um arco do III quadrante, quanto vale o cosseno e a tangente de x ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \operatorname{sen}(x)=\dfrac{-3}{4}.
  • x é um arco do III quadrante.
O que se pede:
  • Calcular \cos x.
  • Calcular \tan x.

Passo 2

Recordando uma identidade básica (aquela que sempre salva): para qualquer ângulo x vale
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Aqui vou usar a notação dada no enunciado; então escrevo
\bigl(\operatorname{sen}x\bigr)^{2}+\cos^{2}x=1.
Isolando \cos x obtemos a fórmula
\cos x=\pm\sqrt{\,1-\bigl(\operatorname{sen}x\bigr)^{2}\,}.
Explicação curta: a identidade diz que o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno é 1; daí o cosseno em módulo é a raiz quadrada de 1-\sin^{2}x, e o sinal ( + ou -) depende do quadrante onde x está.

Passo 3

Vamos calcular o valor numérico dentro da raiz. Primeiro calculemos \bigl(\operatorname{sen}x\bigr)^{2}:
\bigl(\operatorname{sen}x\bigr)^{2}=\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}.
Então
1-\bigl(\operatorname{sen}x\bigr)^{2}=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{16}{16}-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16}.
A raiz positiva é
\sqrt{\dfrac{7}{16}}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}.

Passo 4

Agora escolher o sinal. Em cada quadrante os sinais de seno e cosseno são:
  • I: \sin>0,\\ \cos>0.
  • II: \sin>0,\\ \cos<0.
  • III: \sin<0,\\ \cos<0.
  • IV: \sin<0,\\ \cos>0.
Como o enunciado diz que x está no III quadrante, tanto \operatorname{sen}x quanto \cos x são negativos. Portanto devemos escolher o sinal negativo na fórmula do passo 2. Concluímos:
\cos x=-\dfrac{\sqrt{7}}{4}.

Passo 5

Para a tangente usamos a definição
\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
Substituindo \operatorname{sen}x=-\dfrac{3}{4} e \cos x=-\dfrac{\sqrt{7}}{4} temos
\tan x=\dfrac{-\dfrac{3}{4}}{-\dfrac{\sqrt{7}}{4}}=\dfrac{3}{\sqrt{7}}.
Observação: o sinal ficou positivo (negativo dividido por negativo dá positivo), consistente com o fato de que no III quadrante a tangente é positiva.

Passo 6

Se quiser uma forma sem radicais no denominador (racionalizar), multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{7}:
\tan x=\dfrac{3}{\sqrt{7}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{7}.
Ambas as formas representam o mesmo número; a forma racionalizada é muitas vezes preferida.

Resposta

\cos x=-\dfrac{\sqrt{7}}{4}
\tan x=\dfrac{3\sqrt{7}}{7}

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