Sabendo que
e que
é um arco do III quadrante, quanto vale o cosseno e a tangente de
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
é um arco do III quadrante.
O que se pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Recordando uma identidade básica (aquela que sempre salva): para qualquer ângulo
vale
Aqui vou usar a notação dada no enunciado; então escrevo
Isolando
obtemos a fórmula
Explicação curta: a identidade diz que o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno é 1; daí o cosseno em módulo é a raiz quadrada de
, e o sinal (
ou
) depende do quadrante onde
está.
Passo 3
Vamos calcular o valor numérico dentro da raiz. Primeiro calculemos
:
Então
A raiz positiva é
Passo 4
Agora escolher o sinal. Em cada quadrante os sinais de seno e cosseno são:
- I:
. - II:
. - III:
. - IV:
.
Como o enunciado diz que
está no III quadrante, tanto
quanto
são negativos. Portanto devemos escolher o sinal negativo na fórmula do passo 2. Concluímos:
Passo 5
Para a tangente usamos a definição
Substituindo
e
temos
Observação: o sinal ficou positivo (negativo dividido por negativo dá positivo), consistente com o fato de que no III quadrante a tangente é positiva.
Passo 6
Se quiser uma forma sem radicais no denominador (racionalizar), multiplica-se numerador e denominador por
:
Ambas as formas representam o mesmo número; a forma racionalizada é muitas vezes preferida.