Um satélite, se movendo com uma órbita elíptica, está a 360 Km acima da superfície da Terra em seu ponto mais afastado e 180 Km no seu ponto mais próximo. Calcule o semieixo maior e a excentricidade da órbita. (dado raio da Terra
)
Passo 1
O enunciado dá as altitudes do satélite acima da superfície da Terra nos dois pontos extremos da órbita e pede duas coisas:
- Altitude no ponto mais afastado (apogeu):
. - Altitude no ponto mais próximo (perigeu):
. - Raio da Terra:
.
O que é pedido:
- Calcular o semieixo maior da órbita,
(em ). - Calcular a excentricidade da órbita,
(adimensional).
Observação importante (que pegamos do enunciado): as alturas estão em relação à superfície, portanto primeiro precisamos transformar para as distâncias do satélite ao centro da Terra.
Passo 2
Calcular as distâncias do satélite ao centro da Terra nos dois pontos (somando o raio da Terra às altitudes):
Aqui
é a distância no apogeu (mais afastado) e
é a distância no perigeu (mais próximo).
Passo 3
Apresentar a relação entre
,
,
e
.
Explicação didática simples: para uma órbita elíptica com foco no centro da Terra, ao longo do eixo maior os raios até perigeu e apogeu satisfazem as fórmulas
onde:
-
é o semieixo maior da elipse (metade do eixo maior); -
é a excentricidade, com ; -
e são as distâncias do foco (centro da Terra) ao satélite no perigeu e apogeu.
(breve motivo dessas fórmulas: a equação polar da elipse relativa ao foco é
; para
(perigeu) e
(apogeu) obtém-se as fórmulas acima — não precisa decorar o derivação inteira na prova, mas vale saber aplicar).
Passo 4
Isolar
somando as duas equações:
Logo
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Determinar a excentricidade
. Subtraindo as duas equações:
Assim
Usando os números:
Podemos simplificar ou calcular decimal:
Arredondando razoavelmente para uso prático na prova,
.
Passo 6
Checagem rápida (útil na prova): verificar que
e
retornam os
originais.
o que confirma os cálculos.