Um satélite, se movendo com uma órbita elíptica, está a 360 Km acima da superfície da Terra em seu ponto mais afastado e 180 Km no seu ponto mais próximo. Calcule o semieixo maior e a excentricidade da órbita. (dado raio da Terra =6370 \mathrm{Km} )

Passo 1

O enunciado dá as altitudes do satélite acima da superfície da Terra nos dois pontos extremos da órbita e pede duas coisas:
  • Altitude no ponto mais afastado (apogeu): 360\\ \mathrm{km}.
  • Altitude no ponto mais próximo (perigeu): 180\\ \mathrm{km}.
  • Raio da Terra: 6370\\ \mathrm{km}.
O que é pedido:
  • Calcular o semieixo maior da órbita, a (em \mathrm{km}).
  • Calcular a excentricidade da órbita, e (adimensional).
Observação importante (que pegamos do enunciado): as alturas estão em relação à superfície, portanto primeiro precisamos transformar para as distâncias do satélite ao centro da Terra.

Passo 2

Calcular as distâncias do satélite ao centro da Terra nos dois pontos (somando o raio da Terra às altitudes):
r_{\text{apo}} = 6370 + 360 = 6730\\ \mathrm{km},
r_{\text{peri}} = 6370 + 180 = 6550\\ \mathrm{km}.
Aqui r_{\text{apo}} é a distância no apogeu (mais afastado) e r_{\text{peri}} é a distância no perigeu (mais próximo).

Passo 3

Apresentar a relação entre a, e, r_{\text{peri}} e r_{\text{apo}}.
Explicação didática simples: para uma órbita elíptica com foco no centro da Terra, ao longo do eixo maior os raios até perigeu e apogeu satisfazem as fórmulas
r_{\text{peri}} = a(1 - e),
r_{\text{apo}} = a(1 + e),
onde:
  • a é o semieixo maior da elipse (metade do eixo maior);
  • e é a excentricidade, com 0 \le e < 1;
  • r_{\text{peri}} e r_{\text{apo}} são as distâncias do foco (centro da Terra) ao satélite no perigeu e apogeu.
(breve motivo dessas fórmulas: a equação polar da elipse relativa ao foco é r=\dfrac{a(1-e^2)}{1+e\cos\nu}; para \nu=0 (perigeu) e \nu=\pi (apogeu) obtém-se as fórmulas acima — não precisa decorar o derivação inteira na prova, mas vale saber aplicar).

Passo 4

Isolar a somando as duas equações:
r_{\text{apo}} + r_{\text{peri}} = a(1+e) + a(1-e) = 2a.
Logo
a = \frac{r_{\text{apo}} + r_{\text{peri}}}{2}.
Substituindo os valores que calculamos:
a = \frac{6730 + 6550}{2} = \frac{13280}{2} = 6640\\ \mathrm{km}.

Passo 5

Determinar a excentricidade e. Subtraindo as duas equações:
r_{\text{apo}} - r_{\text{peri}} = a(1+e) - a(1-e) = 2a e.
Assim
e = \frac{r_{\text{apo}} - r_{\text{peri}}}{2a}.
Usando os números:
e = \frac{6730 - 6550}{2\cdot 6640} = \frac{180}{13280}.
Podemos simplificar ou calcular decimal:
e = \frac{9}{664} \approx 0,013554\ldots
Arredondando razoavelmente para uso prático na prova, e \approx 0,01355.

Passo 6

Checagem rápida (útil na prova): verificar que a(1+e) e a(1-e) retornam os r originais.
a(1+e)=6640(1+0,013554\ldots)\approx 6730\\ \mathrm{km},
a(1-e)=6640(1-0,013554\ldots)\approx 6550\\ \mathrm{km},
o que confirma os cálculos.

Resposta

a = 6640\\ \mathrm{km}
e \approx 0,01355

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