Nos seguintes exercícios, encontre o domínio de f e descreva a região em \mathbb{R}^{3} que seja o conjunto de pontos no domínio.
f(x, y, z)=x z \operatorname{arccos} \left(y^{2}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar o domínio da função f e (2) descrever geometricamente, em \mathbb{R}^{3}, a região formada pelos pontos do domínio. A função dada é
f(x,y,z)=x z \operatorname{arccos}\bigl(y^{2}-1\bigr).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{a função contém } \operatorname{arccos}\bigl(y^{2}-1\bigr),çãé
e as variáveis livres são x, y e z.

Passo 2

O que limita o domínio de f é onde cada parte da expressão está definida. Vou explicar isso com calma. A função \operatorname{arccos}(\cdot) só está definida quando seu argumento está no intervalo fechado [-1,1]. Ou seja, para que \operatorname{arccos}\bigl(y^{2}-1\bigr) faça sentido precisamos ter
-1 \le y^{2}-1 \le 1.
Já os fatores x e z são apenas números reais multiplicando o resultado de \operatorname{arccos}, então x e z não impõem restrição adicional: x e z podem ser quaisquer reais.

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade para y. Começo com
-1 \le y^{2}-1 \le 1.
Somando 1 em todas as partes (operação válida e que preserva desigualdades) obtemos
0 \le y^{2} \le 2.
A primeira parte 0 \le y^{2} é sempre verdadeira para todo y, então a restrição relevante é y^{2} \le 2. Isso equivale a
|y| \le \sqrt{2},
ou seja,
-\sqrt{2} \le y \le \sqrt{2}.
Aqui usei a propriedade de que y^{2}\le 2 é a mesma coisa que |y|\le\sqrt{2}.

Passo 4

Resumo das restrições: x pode ser qualquer número real, z pode ser qualquer número real, e y deve satisfazer -\sqrt{2}\le y\le\sqrt{2}. Portanto, em notação de conjuntos o domínio é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid -\sqrt{2}\le y\le\sqrt{2}\}.
Outra maneira compacta de escrever é
\mathbb{R}\times [-\sqrt{2},\sqrt{2}]\times \mathbb{R}.

Passo 5

Interpretação geométrica (descrição da região em \mathbb{R}^{3}): a condição -\sqrt{2}\le y\le\sqrt{2} define um “slab” (uma camada) infinito paralelo aos eixos x e z, limitado por dois planos paralelos y=\sqrt{2} e y=-\sqrt{2}. A região inclui as faces planas y=\pm\sqrt{2} (porque as desigualdades são fechadas). Em outras palavras, é a região entre esses dois planos, estendendo-se infinitamente nas direções x e z.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a intuição:
(0,0,0)\in\text{domínio},\quad \text{pois }0\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}].í
(1,1, -2)\in\text{domínio},\quad \text{pois }1\le\sqrt{2}.í
(0,2,0)\notin\text{domínio},\quad \text{pois }2>\sqrt{2}\\ (\Rightarrow y^{2}-1>1).í
Também vale notar as bordas: para y=\pm\sqrt{2} temos y^{2}-1=1, então \operatorname{arccos}(1)=0 e a função está bem definida nesses pontos.

Resposta

\displaystyle \mathrm{Dom}(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid -\sqrt{2}\le y\le\sqrt{2}\}
Região em \mathbb{R}^{3}: o slab (camada) infinito entre os planos y=-\sqrt{2} e y=\sqrt{2}, incluindo as faces.

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