Nos seguintes exercícios, encontre o domínio de
e descreva a região em
que seja o conjunto de pontos no domínio.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar o domínio da função
e (2) descrever geometricamente, em
, a região formada pelos pontos do domínio. A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
e as variáveis livres são
,
e
.
Passo 2
O que limita o domínio de
é onde cada parte da expressão está definida. Vou explicar isso com calma. A função
só está definida quando seu argumento está no intervalo fechado
. Ou seja, para que
faça sentido precisamos ter
Já os fatores
e
são apenas números reais multiplicando o resultado de
, então
e
não impõem restrição adicional:
e
podem ser quaisquer reais.
Passo 3
Agora resolvemos a desigualdade para
. Começo com
Somando
em todas as partes (operação válida e que preserva desigualdades) obtemos
A primeira parte
é sempre verdadeira para todo
, então a restrição relevante é
. Isso equivale a
ou seja,
Aqui usei a propriedade de que
é a mesma coisa que
.
Passo 4
Resumo das restrições:
pode ser qualquer número real,
pode ser qualquer número real, e
deve satisfazer
. Portanto, em notação de conjuntos o domínio é
Outra maneira compacta de escrever é
Passo 5
Interpretação geométrica (descrição da região em
): a condição
define um “slab” (uma camada) infinito paralelo aos eixos
e
, limitado por dois planos paralelos
e
. A região inclui as faces planas
(porque as desigualdades são fechadas). Em outras palavras, é a região entre esses dois planos, estendendo-se infinitamente nas direções
e
.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a intuição:
Também vale notar as bordas: para
temos
, então
e a função está bem definida nesses pontos.
Resposta
Região em