Nos seguintes exercícios, encontre o domínio de f e descreva a região em \mathbb{R}^{3} que seja o conjunto de pontos no domínio.
f(x, y, z)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} definida por
f(x,y,z)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.
As tarefas pedidas são: (1) encontrar o domínio de f (isto é, todos os pontos (x,y,z) para os quais f está bem definida como número real) e (2) descrever geometricamente, em \mathbb{R}^{3}, a região formada pelos pontos do domínio. As informações relevantes dadas no enunciado são a forma da expressão dentro da raiz: 9-x^{2}-y^{2}-z^{2}.

Passo 2

Primeiro um lembrete didático: quando temos a raiz quadrada principal \sqrt{\;\cdot\;} e queremos um valor real para a função, o que está dentro da raiz (o “radicando”) precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja, para f(x,y,z) ser real devemos ter
\text{radicando} \ge 0.
Aqui o radicando é 9-x^{2}-y^{2}-z^{2}. Também assumimos que x,y,z são números reais, porque o domínio pedido é em \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Então impomos a condição de existência (radicando não negativo):
9-x^{2}-y^{2}-z^{2}\ge 0.

Passo 4

Agora vamos manipular essa desigualdade de forma simples e cuidadosa para isolarmos a soma dos quadrados. Subtraindo 9 dos dois lados e multiplicando por -1 (lembre que ao multiplicar por -1 a desigualdade inverte o sinal) obtemos
-(x^{2}+y^{2}+z^{2})\ge -9
e invertendo o sinal da desigualdade:
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9.
Portanto a condição necessária e suficiente para que f(x,y,z) seja real é \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9.

Passo 5

Explicando geometricamente: a expressão x^{2}+y^{2}+z^{2} é o quadrado da distância do ponto (x,y,z) ao origem (0,0,0). Se chamarmos r essa distância, então
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
A desigualdade x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9 equivale a r\le 3. Logo os pontos do domínio são todos aqueles cuja distância ao centro (origem) é menor ou igual a 3. Geometricamente isso é a bola sólida de raio 3 centrada na origem — ou seja, o interior da esfera de raio 3 juntamente com a própria superfície da esfera.

Passo 6

Observações úteis para a prova e exemplos rápidos:
  • Se (x,y,z)=(0,0,0) então x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\le 9 e f(0,0,0)=\sqrt{9}=3.
  • Se (x,y,z)=(3,0,0) então x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 e f(3,0,0)=0 (a fronteira está incluída).
  • Se (x,y,z)=(4,0,0) então x^{2}+y^{2}+z^{2}=16>9 e f não é real aí (fora do domínio).
    Outra forma de escrever o domínio, útil em provas, é em notação de conjunto:
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9\}.

Resposta

\displaystyle D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9\}
Região em \mathbb{R}^{3}: a bola sólida (fechada) de raio 3 centrada na origem, i.e., todos os pontos cuja distância à origem satisfaz r\le 3.

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