Nos seguintes exercícios, encontre o domínio de
e descreva a região em
que seja o conjunto de pontos no domínio.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As tarefas pedidas são: (1) encontrar o domínio de
(isto é, todos os pontos
para os quais
está bem definida como número real) e (2) descrever geometricamente, em
, a região formada pelos pontos do domínio. As informações relevantes dadas no enunciado são a forma da expressão dentro da raiz:
.
Passo 2
Primeiro um lembrete didático: quando temos a raiz quadrada principal
e queremos um valor real para a função, o que está dentro da raiz (o “radicando”) precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja, para
ser real devemos ter
Aqui o radicando é
. Também assumimos que
são números reais, porque o domínio pedido é em
.
Passo 3
Então impomos a condição de existência (radicando não negativo):
Passo 4
Agora vamos manipular essa desigualdade de forma simples e cuidadosa para isolarmos a soma dos quadrados. Subtraindo
dos dois lados e multiplicando por
(lembre que ao multiplicar por
a desigualdade inverte o sinal) obtemos
e invertendo o sinal da desigualdade:
Portanto a condição necessária e suficiente para que
seja real é
.
Passo 5
Explicando geometricamente: a expressão
é o quadrado da distância do ponto
ao origem
. Se chamarmos
essa distância, então
A desigualdade
equivale a
. Logo os pontos do domínio são todos aqueles cuja distância ao centro (origem) é menor ou igual a
. Geometricamente isso é a bola sólida de raio
centrada na origem — ou seja, o interior da esfera de raio
juntamente com a própria superfície da esfera.
Passo 6
Observações úteis para a prova e exemplos rápidos:
- Se
então e . - Se
então e (a fronteira está incluída). - Se
então e não é real aí (fora do domínio).
Outra forma de escrever o domínio, útil em provas, é em notação de conjunto:
Resposta
Região em