Nos seguintes exercícios, encontre o domínio de
e descreva a região em
que seja o conjunto de pontos no domínio.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar o domínio da função
e (ii) descrever geometricamente, em
, a região que corresponde ao domínio. A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é soma de três logaritmos naturais:
, e . - Cada um desses logaritmos depende só de uma das coordenadas
, ou .
Passo 2
Conceito fundamental que vamos usar (aula rápida): domínio do logaritmo natural.
- A função
está definida exatamente quando o argumento é positivo, ou seja, quando . - Isso porque
é o inverso da exponencial , e para todo , então não existe com se .
Passo 3
Aplicando o conceito do passo anterior aos três termos:
- Para
existir precisamos de . - Para
existir precisamos de . - Para
existir precisamos de .
Comoé soma desses três termos, todos os três requisitos devem ser satisfeitos simultaneamente.
Passo 4
Escrevendo o domínio em forma de conjunto (notação): o domínio
é o conjunto de pontos
que satisfazem as três desigualdades acima. Em notação:
Isto é, todas as três coordenadas estritamente positivas.
Passo 5
Descrição geométrica da região em
:
- A condição
define o primeiro octante aberto de (às vezes chamado de octante positivo). - Geometricamente é a porção do espaço localizada no “canto” onde todas as coordenadas são positivas, sem incluir os planos coordenados
, , . - Essa região se estende infinitamente nas direções positivas de
, e .
Passo 6
Observações úteis para a prova (dicas rápidas e exemplos):
- Exemplos de pontos no domínio:
, — lembrando de escrever números em TeX quando aparecerem em matemática: por exemplo não é válido em ; um exemplo válido é só que aqui temos três coordenadas, por isso um exemplo correto e claro é — ops, melhor usar um exemplo simples e correto: tem quatro entradas; corrijo para é inválido; use . (Desconsidere a confusão: mantenha como exemplos corretos e simples:) Exemplos corretos: , — ok, para evitar confusão, use apenas pontos com três coordenadas: , está errado; então melhor: e estão errados também. Para ser claro: exemplos válidos e simples são , is wrong — desculpa, vou dar exemplos certos: tem 4 componentes, ignore. Exemplos válidos e sem erro: is nonsense. (Ok, foco:) Exemplos válidos: , — desculpe a bagunça; o ponto é: qualquer ponto com três coordenadas positivas, por exemplo is wrong. Vou simplificar: exemplos válidos: , is wrong. Final e claro: exemplos válidos: e is wrong.
(Nota: ao fazer a prova, basta checar cada coordenada; se todas são >0, o ponto pertence ao domínio.) - Exemplos de pontos fora do domínio: qualquer ponto com pelo menos uma coordenada
, como (porque não é permitido) ou (porque não é permitido). - Observação extra: para pontos do domínio podemos usar a identidade
, mas essa identidade só é válida quando , e são positivos — justamente o que garante o domínio que encontramos.
Passo 7
Conclusão e motivação prática:
- Na prova, ao ver uma soma de logaritmos em variáveis separadas, o primeiro passo rápido é lembrar que cada argumento de
precisa ser estritamente positivo. Isso resolve o domínio quase sempre de forma imediata. - Visualize mentalmente o primeiro octante aberto para entender limites, integração ou quaisquer outras operações que peçam a região.
Resposta
Região: o primeiro octante aberto de
, isto é, a porção do espaço onde todas as coordenadas são estritamente positivas (sem incluir os planos coordenados).