Seja B uma matriz de ordem n, encontre uma matriz A inversível tal que 2 A=A^{2}+A B.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz B de ordem n e pede que eu encontre uma matriz A inversível tal que
2A = A^{2} + A B.
Informações relevantes que temos:
  • B é uma matriz quadrada n\times n.
  • Queremos uma matriz A quadrada n\times n que seja inversível (ou seja, exista A^{-1}) e satisfaça a igualdade acima.
    O objetivo final é achar explicitamente A em função de B (se possível) e verificar a condição de inversibilidade.

Passo 2

Coloco todos os termos do mesmo lado para ver uma forma factorizável. Subtraindo 2A de ambos os lados obtenho
A^{2} + A B - 2A = 0.
Agora uso a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes (aqui estou fatorando A à esquerda), válida porque todas as matrizes têm dimensões compatíveis:
A^{2} + A B - 2A = A(A + B - 2I),
onde I é a matriz identidade de ordem n. Portanto a equação inicial é equivalente a
A(A + B - 2I) = 0,
isto é, o produto de duas matrizes é a matriz nula.

Passo 3

Aqui entra a hipótese importante: A é inversível. Se A é inversível, posso multiplicar a igualdade anterior à esquerda por A^{-1} (pois A^{-1}A = I). Fazendo isso:
A^{-1}\bigl(A(A + B - 2I)\bigr)=A^{-1}0.
Pelo associativismo da multiplicação e pela propriedade do inverso, isso dá
I\,(A + B - 2I)=0,
ou simplesmente
A + B - 2I = 0.

Passo 4

Isolando A da última igualdade obtemos a forma explícita de A:
A = 2I - B.
Portanto, se existir uma solução A inversível ela tem obrigatoriamente essa forma. Ou seja, a solução inversível (quando existe) é única e é A=2I-B.

Passo 5

Agora verifico que essa escolha realmente satisfaz a equação original (é sempre bom checar). Tomando A=2I-B, calculo cada termo:
Cálculo de A^{2}:
A^{2}=(2I-B)^{2}=4I-4B+B^{2}.
Cálculo de AB:
AB=(2I-B)B=2B-B^{2}.
Somando:
A^{2}+AB=(4I-4B+B^{2})+(2B-B^{2})=4I-2B.
Por outro lado,
2A=2(2I-B)=4I-2B.
Logo A^{2}+AB=2A, isto é, a igualdade do enunciado fica satisfeita. Tudo confere.

Passo 6

Resta a condição de inversibilidade: a matriz que encontramos é A=2I-B. Ela será inversível se, e somente se, \det(2I-B)\neq 0. Se \det(2I-B)=0 então 2I-B é singular e não há solução inversível (pois qualquer solução inversível teria de ser 2I-B e ela não é inversível). Para ilustrar com um exemplo simples: se B=0 então A=2I e \det(2I)=2^{n}\neq0, então funciona.

Resposta

A=2I-B, desde que \det(2I-B)\neq0.

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