Seja
uma matriz de ordem
, encontre uma matriz
inversível tal que
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de ordem
e pede que eu encontre uma matriz
inversível tal que
Informações relevantes que temos:
-
é uma matriz quadrada . - Queremos uma matriz
quadrada que seja inversível (ou seja, exista ) e satisfaça a igualdade acima.
O objetivo final é achar explicitamenteem função de (se possível) e verificar a condição de inversibilidade.
Passo 2
Coloco todos os termos do mesmo lado para ver uma forma factorizável. Subtraindo
de ambos os lados obtenho
Agora uso a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes (aqui estou fatorando
à esquerda), válida porque todas as matrizes têm dimensões compatíveis:
onde
é a matriz identidade de ordem
. Portanto a equação inicial é equivalente a
isto é, o produto de duas matrizes é a matriz nula.
Passo 3
Aqui entra a hipótese importante:
é inversível. Se
é inversível, posso multiplicar a igualdade anterior à esquerda por
(pois
). Fazendo isso:
Pelo associativismo da multiplicação e pela propriedade do inverso, isso dá
ou simplesmente
Passo 4
Isolando
da última igualdade obtemos a forma explícita de
:
Portanto, se existir uma solução
inversível ela tem obrigatoriamente essa forma. Ou seja, a solução inversível (quando existe) é única e é
.
Passo 5
Agora verifico que essa escolha realmente satisfaz a equação original (é sempre bom checar). Tomando
, calculo cada termo:
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Somando:
Por outro lado,
Logo
, isto é, a igualdade do enunciado fica satisfeita. Tudo confere.
Passo 6
Resta a condição de inversibilidade: a matriz que encontramos é
. Ela será inversível se, e somente se,
. Se
então
é singular e não há solução inversível (pois qualquer solução inversível teria de ser
e ela não é inversível). Para ilustrar com um exemplo simples: se
então
e
, então funciona.