- Seja
Verifique se
seja spline cúbico e se o spline cúbico seja natural.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede duas verificações:
- verificar se
é um spline cúbico (isto é, se é uma função definida por polinômios de grau no máximo 3 em cada subintervalo e é nos nós); - verificar se esse spline cúbico é natural (isto é, se as segundas derivadas nas extremidades do intervalo
são nulas).
Informações dadas que vamos usar: as expressões deem e em , e o nó em .]
Passo 2
O que significa “spline cúbico” (explicação didática, sem pânico):
- Um spline cúbico em
com nó em é uma função definida por polinômios de grau até 3 em cada subintervalo (aqui em e em ). - Além disso, para ser um spline cúbico padrão pedimos que a função seja contínua e que suas derivadas primeira e segunda sejam contínuas no nó (ou seja, a função deve ser
em todo o intervalo).
Regras de diferenciação que vou usar (lembrete): seentão
Isto é só para eu e você lembrarmos de como derivar polinômios cúbicos passo a passo.
Passo 3
Verificar que cada ramo é polinômio de grau 3:
- No intervalo
temos , que é um polinômio de grau 3 (termo ). - No intervalo
temos , também polinômio de grau 3 (termo ).
Logo a condição “piecewise cubic” está satisfeita.
Passo 4
Verificar continuidade da própria função em
: calcular os valores à esquerda e à direita em
.
- Valor à esquerda:
- Valor à direita:
Como, a função é contínua em .
Passo 5
Calcular as derivadas primeiras dos dois ramos e verificar continuidade em
. Vou derivar usando a regra para polinômios.
- Para
, pela fórmula (ou derivando termo a termo):
Avaliação em
:
- Para
, derivando:
Avaliação em
:
Como , a primeira derivada é contínua em
.
Como
Passo 6
Calcular as derivadas segundas dos dois ramos e verificar continuidade em
. Novamente derivando as expressões que já temos.
- Derivada segunda de
: derivando obtemos
Avaliação em
:
- Derivada segunda de
: derivando obtemos
Avaliação em
:
Como , a segunda derivada é contínua em
.
Como
Passo 7
Conclusão sobre spline cúbico: temos que
é piecewise polinomial de grau 3, e mostramos que
,
e
são contínuas no nó
. Logo
é um spline cúbico em
com nó em
. (Respira fundo — pronto, é spline cúbico.)
Passo 8
Verificar se é spline natural: para isso precisamos checar se as segundas derivadas nas extremidades são zero, ou seja, se
e
. Usamos as fórmulas das segundas derivadas já encontradas.
- Em
usamos a expressão de (porque ):
- Em
usamos a expressão de (porque ):
Ambas as segundas derivadas nas extremidades são zero, portanto o spline satisfaz as condições de contorno naturais.
Passo 9
Resumo final do raciocínio (bem direto):
é piecewise cúbico e tem continuidade até a segunda derivada no nó
, e ainda satisfaz
. Assim é um spline cúbico e as condições naturais são satisfeitas.
Resposta
S(x) é spline cúbico.
O spline é natural.
O spline é natural.