1. Seja
S(x)= \begin{cases}-x^{3}-3 x^{2}-1, & x \in[-1,0], \\\ x^{3}-3 x^{2}-1, & x \in[0,1] .\end{cases}
Verifique se S(x) seja spline cúbico e se o spline cúbico seja natural.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
S(x)= \begin{cases}-x^{3}-3 x^{2}-1, & x \in[-1,0], \\[4pt] x^{3}-3 x^{2}-1, & x \in[0,1] ,\end{cases}
e pede duas verificações:
  1. verificar se S(x) é um spline cúbico (isto é, se é uma função definida por polinômios de grau no máximo 3 em cada subintervalo e é C^2 nos nós);
  2. verificar se esse spline cúbico é natural (isto é, se as segundas derivadas nas extremidades do intervalo [-1,1] são nulas).
    Informações dadas que vamos usar: as expressões de S(x) em [-1,0] e em [0,1], e o nó em x=0.]

Passo 2

O que significa “spline cúbico” (explicação didática, sem pânico):
  • Um spline cúbico em [-1,1] com nó em 0 é uma função definida por polinômios de grau até 3 em cada subintervalo (aqui em [-1,0] e em [0,1]).
  • Além disso, para ser um spline cúbico padrão pedimos que a função seja contínua e que suas derivadas primeira e segunda sejam contínuas no nó (ou seja, a função deve ser C^2 em todo o intervalo).
    Regras de diferenciação que vou usar (lembrete): se p(x)=ax^3+bx^2+cx+d então
p'(x)=3ax^2+2bx+c,\qquad p''(x)=6ax+2b.
Isto é só para eu e você lembrarmos de como derivar polinômios cúbicos passo a passo.

Passo 3

Verificar que cada ramo é polinômio de grau 3:
  • No intervalo [-1,0] temos S_1(x)=-x^{3}-3x^{2}-1, que é um polinômio de grau 3 (termo -x^3).
  • No intervalo [0,1] temos S_2(x)=x^{3}-3x^{2}-1, também polinômio de grau 3 (termo x^3).
    Logo a condição “piecewise cubic” está satisfeita.

Passo 4

Verificar continuidade da própria função em x=0: calcular os valores à esquerda e à direita em 0.
  • Valor à esquerda: S_1(0) = -0^{3}-3\cdot0^{2}-1 = -1.
  • Valor à direita: S_2(0) = 0^{3}-3\cdot0^{2}-1 = -1.
    Como S_1(0)=S_2(0)=-1, a função é contínua em x=0.

Passo 5

Calcular as derivadas primeiras dos dois ramos e verificar continuidade em x=0. Vou derivar usando a regra para polinômios.
  • Para S_1(x)=-x^{3}-3x^{2}-1, pela fórmula p'(x)=3ax^2+2bx+c (ou derivando termo a termo):
S_1'(x) = -3x^{2}-6x.
Avaliação em 0: S_1'(0) = -3\cdot0^{2}-6\cdot0 = 0.
  • Para S_2(x)=x^{3}-3x^{2}-1, derivando:
S_2'(x) = 3x^{2}-6x.
Avaliação em 0: S_2'(0) = 3\cdot0^{2}-6\cdot0 = 0.
Como S_1'(0)=S_2'(0)=0, a primeira derivada é contínua em x=0.

Passo 6

Calcular as derivadas segundas dos dois ramos e verificar continuidade em x=0. Novamente derivando as expressões que já temos.
  • Derivada segunda de S_1: derivando S_1'(x)=-3x^{2}-6x obtemos
S_1''(x) = -6x-6.
Avaliação em 0: S_1''(0) = -6\cdot0-6 = -6.
  • Derivada segunda de S_2: derivando S_2'(x)=3x^{2}-6x obtemos
S_2''(x) = 6x-6.
Avaliação em 0: S_2''(0) = 6\cdot0-6 = -6.
Como S_1''(0)=S_2''(0)=-6, a segunda derivada é contínua em x=0.

Passo 7

Conclusão sobre spline cúbico: temos que S(x) é piecewise polinomial de grau 3, e mostramos que S, S' e S'' são contínuas no nó x=0. Logo S(x) é um spline cúbico em [-1,1] com nó em 0. (Respira fundo — pronto, é spline cúbico.)

Passo 8

Verificar se é spline natural: para isso precisamos checar se as segundas derivadas nas extremidades são zero, ou seja, se S''(-1)=0 e S''(1)=0. Usamos as fórmulas das segundas derivadas já encontradas.
  • Em x=-1 usamos a expressão de S_1''(x)=-6x-6 (porque -1\in[-1,0]):
S''(-1) = -6(-1)-6 = 6-6 = 0.
  • Em x=1 usamos a expressão de S_2''(x)=6x-6 (porque 1\in[0,1]):
S''(1) = 6(1)-6 = 6-6 = 0.
Ambas as segundas derivadas nas extremidades são zero, portanto o spline satisfaz as condições de contorno naturais.

Passo 9

Resumo final do raciocínio (bem direto): S(x) é piecewise cúbico e tem continuidade até a segunda derivada no nó 0, e ainda satisfaz S''(-1)=S''(1)=0. Assim é um spline cúbico e as condições naturais são satisfeitas.

Resposta

S(x) é spline cúbico.
O spline é natural.

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