Verificar se S(x) é um spline cúbico (isto é, se é uma função definida por polinômios cúbicos por trechos que é suficientemente suave nas junções).
Verificar se esse spline cúbico é natural (isto é, se as derivadas segundas em x=-1 e x=1 são iguais a zero).
As informações relevantes dadas são os dois polinômios cúbicos e os intervalos [-1,0] e [0,1]. O ponto de junção (nó) entre os trechos é x=0. Nada mais foi fornecido.]
Passo 2
O que significa ser spline cúbico e ser natural — explicação didática e passo a passo do que vamos checar.
Definição operacional de spline cúbico (do ponto de vista prático para a prova): uma função é um spline cúbico em um conjunto de intervalos adjacentes quando
Em cada subintervalo é um polinômio de grau no máximo 3.
Nos nós (pontos de junção entre subintervalos) a função é contínua e tem derivada primeira contínua e derivada segunda contínua (ou seja, é C^{2} globalmente).
Definição operacional de spline cúbico natural: além de ser spline cúbico, satisfaz as condições de contorno naturais
S''(a)=0\quad\text{e}\quad S''(b)=0,
onde a e b são os extremos do domínio (aqui a=-1 e b=1). Ou seja, as segundas derivadas nas extremidades são zero.
Plano de verificação que seguiremos:
Verificar que cada trecho é um polinômio de grau 3.
Verificar continuidade de S em x=0.
Calcular S'(x) em cada trecho e verificar S'(0^-)=S'(0^+).
Calcular S''(x) em cada trecho e verificar S''(0^-)=S''(0^+).
Calcular S''(-1) e S''(1) para checar as condições naturais.
Vou mostrar como derivar polinômios rapidamente: a regra básica (regra do poder) é que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Usarei isso sistematicamente.
Passo 3
Verificação de que cada trecho é polinômio de grau 3.
No intervalo [-1,0] o trecho é x^{3}+3x^{2}+1. Esse é um polinômio com termo de maior grau x^{3}, logo é grau 3.
No intervalo [0,1] o trecho é -x^{3}+3x^{2}+1. Também tem termo x^{3} (com coeficiente -1), logo é grau 3.
Portanto a condição “polinômio cúbico por trecho” está satisfeita.
Passo 4
Continuidade de S no nó x=0.
Precisamos checar que os limites à esquerda e à direita em x=0 coincidem com o valor da função (aqui ambos trechos estão definidos em 0, então basta comparar os valores).
Valor pelo trecho da esquerda (usar x^{3}+3x^{2}+1):S(0^{-}) = 0^{3}+3\cdot 0^{2}+1 = 1.
Valor pelo trecho da direita (usar -x^{3}+3x^{2}+1):S(0^{+}) = -0^{3}+3\cdot 0^{2}+1 = 1.
Como S(0^{-})=S(0^{+})=1, a função é contínua em x=0.
Passo 5
Cálculo e verificação da continuidade da derivada primeira S'(x) em x=0.
Aplicando a regra do poder para derivar cada trecho:
Para x\in[-1,0], com S(x)=x^{3}+3x^{2}+1:S'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(1)=3x^{2}+6x+0=3x^{2}+6x.
Para x\in[0,1], com S(x)=-x^{3}+3x^{2}+1:S'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(1)=-3x^{2}+6x+0=-3x^{2}+6x.
Agora avaliar em x=0:
Lado esquerdo:S'(0^{-})=3\cdot 0^{2}+6\cdot 0 = 0.
Lado direito:S'(0^{+})=-3\cdot 0^{2}+6\cdot 0 = 0.
Temos S'(0^{-})=S'(0^{+})=0, portanto a derivada primeira é contínua em x=0.
Passo 6
Cálculo e verificação da continuidade da derivada segunda S''(x) em x=0.
Derivamos novamente as expressões de S'(x):
Para x\in[-1,0], com S'(x)=3x^{2}+6x:S''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(6x\bigr)=6x+6.
Para x\in[0,1], com S'(x)=-3x^{2}+6x:S''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(6x\bigr)=-6x+6.
Avaliar em x=0:
Lado esquerdo:S''(0^{-})=6\cdot 0 + 6 = 6.
Lado direito:S''(0^{+})=-6\cdot 0 + 6 = 6.
Como S''(0^{-})=S''(0^{+})=6, a derivada segunda é contínua em x=0. Portanto S é C^{2} em todo o domínio (é contínua e tem derivadas primeira e segunda contínuas nos nós).
Com os passos anteriores concluímos que S(x) é um spline cúbico (peças cúbicas e C^{2} no nó).
Passo 7
Verificação das condições de spline cúbico natural (segunda derivada zero nas extremidades).
As extremidades do domínio são x=-1 e x=1. Usamos as fórmulas de S''(x) apropriadas em cada extremo:
Em x=-1 devemos usar a fórmula válida em [-1,0], que é S''(x)=6x+6. AssimS''(-1)=6\cdot(-1)+6=-6+6=0.
Em x=1 devemos usar a fórmula válida em [0,1], que é S''(x)=-6x+6. AssimS''(1)=-6\cdot 1+6=-6+6=0.
Como S''(-1)=0 e S''(1)=0, as condições de contorno naturais estão satisfeitas.
Passo 8
Resumo e dica prática para a prova (passo a passo que você pode repetir com outras funções por partes):
Cheque que cada trecho é polinomial de grau \le 3.
Calcule S(0^{-}) e S(0^{+}) para conferir continuidade no nó.
Calcule S'(x) em cada trecho e compare em x=0.
Calcule S''(x) em cada trecho e compare em x=0.
Para spline natural, calcule S'' nas extremidades e verifique se são zero.
No exercício atual todas as verificações deram positivo.
Resposta
Sim, S(x) é um spline cúbico.
Sim, o spline cúbico é natural (pois S''(-1)=0 e S''(1)=0).