1. Seja
S(x)= \begin{cases}x^{3}+3 x^{2}+2, & x \in[-1,0], \\\\ -x^{3}+3 x^{2}+2, & x \in[0,1] .\end{cases}
Verifique se S(x) seja spline cúbico e se o spline cúbico seja natural.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Verificar se a função
S(x)= \begin{cases}x^{3}+3 x^{2}+2, & x \in[-1,0], \\\\ -x^{3}+3 x^{2}+2, & x \in[0,1]\end{cases}
é um spline cúbico.
2) Verificar se esse spline cúbico é natural.
Informações dadas importantes:
  • Há dois ramos (peças) definidos em [-1,0] e em [0,1].
  • O nó interior (knot) é x=0.
  • Os extremos do intervalo são x=-1 e x=1.

Passo 2

O que significa ser um spline cúbico (explicação didática):
  • Um spline cúbico é uma função definida por trechos (cada trecho é um polinômio de grau \le 3) tal que nos nós (pontos onde os trechos se unem) a função é contínua até a segunda derivada. Em notação: para cada nó interior t precisamos que \text{valor à esquerda em }t = \text{valor à direita em }t,àà
\text{derivada primeira à esquerda em }t = \text{derivada primeira à direita em }t,àà
\text{derivada segunda à esquerda em }t = \text{derivada segunda à direita em }t.àà
  • “Natural” significa condição de contorno natural: as segundas derivadas nos extremos do domínio são zero. Ou seja, S''(-1)=0\quad\text{e}\quad S''(1)=0.
Vou aplicar essas definições passo a passo ao S(x) dado.

Passo 3

Verificar continuidade da função em x=0 (valor à esquerda e à direita):
  • Valor à esquerda ( x\to0^-): usar o ramo x^{3}+3x^{2}+2. S(0^-)=0^3+3\cdot0^2+2=2.
  • Valor à direita ( x\to0^+): usar o ramo -x^{3}+3x^{2}+2. S(0^+)= -0^3+3\cdot0^2+2=2.
Como S(0^-)=S(0^+)=2, a função é contínua em x=0.

Passo 4

Calcular as derivadas primeiras de cada ramo e verificar continuidade de S'(x) em x=0.
  • Regra de derivação usada (lembrando): a derivada de x^3 é 3x^2; a derivada de x^2 é 2x; constantes derivam zero.
  • Para o ramo esquerdo S_L(x)=x^{3}+3x^{2}+2: S_L'(x)=3x^{2}+6x.Avaliando em x=0: S_L'(0)=3\cdot0^2+6\cdot0=0.
  • Para o ramo direito S_R(x)=-x^{3}+3x^{2}+2: S_R'(x)=-3x^{2}+6x.Avaliando em x=0: S_R'(0)=-3\cdot0^2+6\cdot0=0.
Como S_L'(0)=S_R'(0)=0, a primeira derivada é contínua em x=0.

Passo 5

Calcular as derivadas segundas de cada ramo e verificar continuidade de S''(x) em x=0.
  • Derivando S_L'(x)=3x^{2}+6x: S_L''(x)=6x+6.Avaliando em x=0: S_L''(0)=6\cdot0+6=6.
  • Derivando S_R'(x)=-3x^{2}+6x: S_R''(x)=-6x+6.Avaliando em x=0: S_R''(0)=-6\cdot0+6=6.
Como S_L''(0)=S_R''(0)=6, a segunda derivada é contínua em x=0.

Passo 6

Conclusão parcial sobre spline cúbico:
  • Temos dois trechos, ambos polinômios de grau 3.
  • Em x=0 (o nó interior) verificamos continuidade de S, S' e S''.
    Logo S(x) satisfaz as condições para ser um spline cúbico no intervalo [-1,1] com nó em 0.

Passo 7

Verificar se o spline é natural (condição S''(-1)=S''(1)=0).
  • Usamos as fórmulas das segundas derivadas encontradas: S_L''(x)=6x+6,\quad S_R''(x)=-6x+6.
  • Avaliando em x=-1 (extremo esquerdo, usar ramo esquerdo): S''(-1)=S_L''(-1)=6\cdot(-1)+6=0.
  • Avaliando em x=1 (extremo direito, usar ramo direito): S''(1)=S_R''(1)=-6\cdot1+6=0.
Como ambas as segundas derivadas nos extremos são zero, a condição natural é satisfeita.

Resposta

Sim, S(x) é spline cúbico.
Sim, o spline cúbico é natural.

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