Seja W os conjuntos solução dos sistemas abaixo. Verifique que W=\varnothing (conjunto vazio) em ambos os caso, ou seja, os sistemas são inconsistentes. Faça isso de duas formas: (i) Resolva o sistema composto pelas duas primeras equações e verifique que o conjunto solução não satisfaz a última equação. (ii) Escreva a matriz aumentada em forma escalonada e verifique que a última linha chega a conclusão 0=a, onde a \neq 0.
\left\{\begin{aligned} x+2 y-z= & 2 \\\\ 2 x+3 y+2 z= & 1 \\\\ -y+4 z= & -1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três equações e três incógnitas e pede para verificar que o conjunto solução W\) é o conjunto vazio \(\varnothing\) por dois métodos distintos: - Informações dadas (equações): \[\begin{cases} x+2y-z=2,\\[4pt] 2x+3y+2z=1,\\[4pt] -y+4z=-1. \end{cases}
  • Objetivo: mostrar que não existe (x,y,z)\] que satisfaça as três equações ao mesmo tempo. Fazer isso por: (i) resolver as duas primeiras equações (consideradas como um sistema) e mostrar que qualquer solução delas não satisfaz a terceira equação; (ii) montar a matriz aumentada do sistema inteiro, escalonar (usar operações elementares) e obter uma linha do tipo \(0 = a com a\neq 0, o que demonstra inconsistência.]

Passo 2

Método (i) — solução do sistema formado pelas duas primeiras equações. Vou resolver
\begin{cases} x+2y-z=2,\\[4pt] 2x+3y+2z=1. \end{cases}
Aqui temos duas equações e três incógnitas, portanto é natural usar uma variável como parâmetro. Vou tomar z como parâmetro e chamá-lo de t, ou seja, z=t. Primeiro, elimino x entre as duas equações: multiplico a primeira por 2 e subtraio da segunda.
Multiplicando a primeira por 2 obtenho
2x+4y-2z=4.
Agora subtraio a segunda equação original da equação obtida:
(2x+4y-2z) - (2x+3y+2z) = 4 - 1.
No lado esquerdo, 2x-2x=0, 4y-3y=y, -2z-2z=-4z. No lado direito, 4-1=3. Logo:
y-4z=3.]

Passo 3

Continuando o método (i), resolvo para y em função de z:
y = 3 + 4z.
Agora uso a primeira equação para obter x. A primeira equação é x+2y-z=2. Substituindo y=3+4z e z=t,
x + 2(3+4z) - z = 2.
Faço as contas passo a passo: 2(3+4z)=6+8z. Então
x + 6 + 8z - z = 2 \quad\Rightarrow\quad x + 6 + 7z = 2.
Isolando x,
x = 2 - 6 - 7z = -4 - 7z.
Portanto a solução geral do sistema formado pelas duas primeiras equações é
(x,y,z) = (-4-7t,\; 3+4t,\; t),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Ainda no método (i) — verificar a terceira equação. A terceira equação do sistema original é
-y + 4z = -1.
Substituo a solução geral das duas primeiras equações: y=3+4t e z=t. Então o lado esquerdo fica
-(3+4t) + 4t = -3 -4t +4t = -3.
O lado direito é -1. Obtemos a igualdade
-3 = -1,
que é impossível (contradição) e independe de t. Assim nenhuma escolha de t satisfaz a terceira equação. Conclusão do método (i): o conjunto solução das duas primeiras equações não contém nenhum elemento que satisfaça a terceira equação, logo o sistema todo é inconsistente e W=\varnothing.

Passo 5

Método (ii) — montar a matriz aumentada do sistema inteiro e escalonar. A matriz aumentada do sistema
\begin{cases} x+2y-z=2,\\[4pt] 2x+3y+2z=1,\\[4pt] 0x - y +4z=-1 \end{cases}
é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 4 & -1 \end{array}\right).]

Passo 6

Realizo operações elementares para escalonar a matriz. Primeiro elimino o elemento abaixo do primeiro pivô (que está em a_{11}=1). Faço
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Calculo linha a linha:
  • R_1 permanece (1,\,2,\,-1\,|\,2).
  • R_2 fica (2-2\cdot1,\; 3-2\cdot2,\; 2-2\cdot(-1)\,|\,1-2\cdot2) que é (0,\,-1,\;4\,|\,-3).
  • R_3 permanece (0,\,-1,\;4\,|\,-1).
Após essa operação a matriz é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 4 & -3\\[4pt] 0 & -1 & 4 & -1 \end{array}\right).]

Passo 7

Agora observo que R_2 e R_3 têm a mesma parte esquerda (0,-1,4) mas lados direitos diferentes: -3 e -1. Para expor a contradição faço
R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Computando:
R_3 = (0,-1,4\,|\, -1) - (0,-1,4\,|\, -3) = (0,0,0\,|\,2).
Ou seja, a terceira linha se torna (0,0,0\,|\,2), que corresponde à equação
0x + 0y + 0z = 2,
ou seja,
0 = 2.

Passo 8

Interpretação do resultado do método (ii). A linha (0,0,0\,|\,2) significa uma equação impossível, 0 = 2. Em álgebra linear, uma linha do tipo (0,\dots,0\,|\, b) com b\neq 0 na matriz aumentada indica que o sistema é inconsistente (não tem solução). Portanto, por escalonamento obtemos uma contradição explícita, confirmando que não existe solução para o sistema original e que W=\varnothing.

Resposta

W=\varnothing (método (i))
W=\varnothing (método (ii))