Seja
, sen
.
(a) Expresse
em termos das derivadas parciais de
.
(b) Calcule
supondo
(a) Expresse
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá uma função composta
definida por
com
. As perguntas são:
- (a) Expressar
em termos das derivadas parciais de . - (b) Calcular
sabendo que .
Informações relevantes dadas:
- A função externa é
e ela é de classe (ou seja, possui derivadas parciais contínuas). - A função interna mapeia
para o par . - Valor específico fornecido:
.
Passo 2
Vamos ver com calma a estrutura da função composta. Definimos as componentes internas:
Então podemos escrever
Isto só reorganiza a informação e deixa explícito o que depende de
.
Passo 3
Agora uma mini-aula sobre a regra da cadeia para funções de várias variáveis (explicação didática).
Se é diferenciável e
são funções de
, então a derivada de
é dada pela regra da cadeia:
Se
O que isso significa, em palavras: a variação de
quando
muda é a soma das variações parciais de
em cada direção multiplicadas pela taxa de variação da respectiva componente interna. As derivadas parciais
e
medem a sensibilidade de
quando variamos só
ou só
.
Passo 4
Aplicamos a fórmula da regra da cadeia às nossas componentes
e
. Primeiro calculamos as derivadas das internas:
pois usamos a regra da cadeia univariada: a derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 5
Agora substituímos na fórmula geral da regra da cadeia. Assim obtemos, para todo
:
Esta é a expressão pedida em (a). Aqui explicito cada termo:
é a derivada parcial de
em relação à primeira variável avaliada no ponto
; e análogamente para a derivada parcial em
.
Passo 6
Pequeno comentário de verificação: como
, as derivadas parciais existem e são contínuas, logo a aplicação da regra da cadeia está justificada — não precisamos nos preocupar com existência de derivada.
Passo 7
Passamos ao item (b): avaliar
. Primeiro calculamos os valores das internas em
:
As derivadas internas em
são
Passo 8
Substituímos tudo na fórmula de
no ponto
:
O primeiro termo some porque
. Portanto
Como o enunciado deu
, concluímos