Seja F(t)=f\left(e^{t^{2}}\right., sen \left.t\right), f \in C^{1}.
(a) Expresse \frac{d F}{d t} em termos das derivadas parciais de f.
(b) Calcule \frac{d F}{d t}(0) supondo \frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=-3

Passo 1

O enunciado dá uma função composta F definida por
F(t)=f\bigl(e^{t^{2}},\operatorname{sen} t\bigr),
com f\in C^{1}. As perguntas são:
  1. (a) Expressar \dfrac{dF}{dt} em termos das derivadas parciais de f.
  2. (b) Calcular \dfrac{dF}{dt}(0) sabendo que \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0)=-3.
Informações relevantes dadas:
  • A função externa é f(x,y) e ela é de classe C^{1} (ou seja, possui derivadas parciais contínuas).
  • A função interna mapeia t para o par \bigl(e^{t^{2}},\operatorname{sen} t\bigr).
  • Valor específico fornecido: \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0)=-3.

Passo 2

Vamos ver com calma a estrutura da função composta. Definimos as componentes internas:
u(t)=e^{t^{2}},\qquad v(t)=\operatorname{sen} t.
Então podemos escrever
F(t)=f\bigl(u(t),v(t)\bigr).
Isto só reorganiza a informação e deixa explícito o que depende de t.

Passo 3

Agora uma mini-aula sobre a regra da cadeia para funções de várias variáveis (explicação didática).
Se f(x,y) é diferenciável e x=x(t),\,y=y(t) são funções de t, então a derivada de F(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr) é dada pela regra da cadeia:
\frac{dF}{dt}(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot x'(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot y'(t).
O que isso significa, em palavras: a variação de F quando t muda é a soma das variações parciais de f em cada direção multiplicadas pela taxa de variação da respectiva componente interna. As derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} medem a sensibilidade de f quando variamos só x ou só y.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da regra da cadeia às nossas componentes u(t) e v(t). Primeiro calculamos as derivadas das internas:
u'(t)=\frac{d}{dt}e^{t^{2}}=2t\,e^{t^{2}},
pois usamos a regra da cadeia univariada: a derivada de e^{t^{2}} é e^{t^{2}} vezes a derivada de t^{2}, que é 2t.
v'(t)=\frac{d}{dt}\operatorname{sen} t=\cos t.

Passo 5

Agora substituímos na fórmula geral da regra da cadeia. Assim obtemos, para todo t:
\frac{dF}{dt}(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(e^{t^{2}},\operatorname{sen} t\bigr)\cdot\bigl(2t\,e^{t^{2}}\bigr) +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(e^{t^{2}},\operatorname{sen} t\bigr)\cdot\cos t.
Esta é a expressão pedida em (a). Aqui explicito cada termo: \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigl(e^{t^{2}},\operatorname{sen} t\bigr) é a derivada parcial de f em relação à primeira variável avaliada no ponto \bigl(e^{t^{2}},\operatorname{sen} t\bigr); e análogamente para a derivada parcial em y.

Passo 6

Pequeno comentário de verificação: como f\in C^{1}, as derivadas parciais existem e são contínuas, logo a aplicação da regra da cadeia está justificada — não precisamos nos preocupar com existência de derivada.

Passo 7

Passamos ao item (b): avaliar \dfrac{dF}{dt}(0). Primeiro calculamos os valores das internas em t=0:
e^{0^{2}}=e^{0}=1,\qquad \operatorname{sen} 0=0.
As derivadas internas em t=0 são
u'(0)=2\cdot 0\cdot e^{0}=0,\qquad v'(0)=\cos 0=1.

Passo 8

Substituímos tudo na fórmula de \dfrac{dF}{dt} no ponto t=0:
\frac{dF}{dt}(0)=\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)\cdot 0 + \frac{\partial f}{\partial y}(1,0)\cdot 1.
O primeiro termo some porque u'(0)=0. Portanto
\frac{dF}{dt}(0)=\frac{\partial f}{\partial y}(1,0).
Como o enunciado deu \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0)=-3, concluímos
\frac{dF}{dt}(0)=-3.

Resposta

\frac{dF}{dt}(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(e^{t^{2}},\operatorname{sen} t\bigr)\,2t\,e^{t^{2}} +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(e^{t^{2}},\operatorname{sen} t\bigr)\,\cos t
\frac{dF}{dt}(0)=-3

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