A função envolve valor absoluto no numerador e uma expressão racional (fração de polinômios).
Passo 2
Primeiro identificamos onde a função não está definida: devemos excluir os pontos em que o denominador é zero. Vamos fatorar os polinômios para ver esses zeros.
Fatorando o numerador x^{2}+x-2. Procuramos dois números cujo produto seja -2 e soma seja 1. Esses números são 2 e -1. Portanto
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
Fatorando o denominador x^{2}+2x-3. Procuramos dois números cujo produto seja -3 e soma seja 2. Esses números são 3 e -1. Portanto
x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1).
Passo 3
A partir das fatorações, os zeros de numerador e denominador são:
x^{2}+x-2=0\\ \Longrightarrow\\ x=-2,\;x=1,
x^{2}+2x-3=0\\ \Longrightarrow\\ x=-3,\;x=1.
Como a expressão original tem denominador, qualquer x que zere o denominador deve ser excluído do domínio. Note que x=1 é raiz tanto do numerador quanto do denominador; ainda assim, no original a divisão por zero em x=1 impede que a função esteja definida ali (não se pode cancelar antes de verificar a definição original). Portanto os pontos excluídos do domínio são x=1 e x=-3.
Agora calculamos o limite lateral [\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x)). Para entender o comportamento perto de x=1 simplificamos a expressão para x\neq1, usando as fatorações obtidas.
Isto porque |x-1|\] é \(x-1 quando x-1\ge0 e é -(x-1) quando x-1<0.
Então, para x<1 (que é o caso do limite pela esquerda) temos
f(x)= -\,\frac{|x+2|}{x+3}.]
Passo 5
Agora usamos continuidade da função \dfrac{|x+2|}{x+3} em x=1. O denominador x+3 em x=1 é 4\neq0, e |x+2| é contínuo, logo \dfrac{|x+2|}{x+3} é contínuo em x=1. Portanto podemos avaliar o limite ao substituir x=1:
Se preferir um argumento mais elementar: para x suficientemente próximo de 1 com x<1, x+2>0 então |x+2|=x+2 e o quociente tende para -(1+2)/(1+3)=-3/4.