Seja
f(x)=\frac{\left|x^{2}+x-2\right|}{x^{2}+2 x-3} .
Obtenha o domínio de f.
Calcule
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x),

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\left|x^{2}+x-2\right|}{x^{2}+2x-3}
e pede duas coisas:
  • obter o domínio de f;
  • calcular \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x).
Informações úteis do enunciado:
  • O numerador é \left|x^{2}+x-2\right|.
  • O denominador é x^{2}+2x-3.
  • A função envolve valor absoluto no numerador e uma expressão racional (fração de polinômios).

Passo 2

Primeiro identificamos onde a função não está definida: devemos excluir os pontos em que o denominador é zero. Vamos fatorar os polinômios para ver esses zeros.
Fatorando o numerador x^{2}+x-2. Procuramos dois números cujo produto seja -2 e soma seja 1. Esses números são 2 e -1. Portanto
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
Fatorando o denominador x^{2}+2x-3. Procuramos dois números cujo produto seja -3 e soma seja 2. Esses números são 3 e -1. Portanto
x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1).

Passo 3

A partir das fatorações, os zeros de numerador e denominador são:
x^{2}+x-2=0\\ \Longrightarrow\\ x=-2,\;x=1,
x^{2}+2x-3=0\\ \Longrightarrow\\ x=-3,\;x=1.
Como a expressão original tem denominador, qualquer x que zere o denominador deve ser excluído do domínio. Note que x=1 é raiz tanto do numerador quanto do denominador; ainda assim, no original a divisão por zero em x=1 impede que a função esteja definida ali (não se pode cancelar antes de verificar a definição original). Portanto os pontos excluídos do domínio são x=1 e x=-3.
Conclusão sobre o domínio:
\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-3,1\}.

Passo 4

Agora calculamos o limite lateral [\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x)). Para entender o comportamento perto de x=1 simplificamos a expressão para x\neq1, usando as fatorações obtidas.
Para x\neq1 temos
f(x)=\frac{\left|(x-1)(x+2)\right|}{(x-1)(x+3)} =\frac{|x-1|\,|x+2|}{(x-1)(x+3)}.
Separemos o fator que envolve x-1. Para x\neq1,
\frac{|x-1|}{x-1}=\begin{cases} 1 & \text{se }x>1,\\[4pt] -1 & \text{se }x<1. \end{cases}
Isto porque |x-1|\] é \(x-1 quando x-1\ge0 e é -(x-1) quando x-1<0.
Então, para x<1 (que é o caso do limite pela esquerda) temos
f(x)= -\,\frac{|x+2|}{x+3}.]

Passo 5

Agora usamos continuidade da função \dfrac{|x+2|}{x+3} em x=1. O denominador x+3 em x=1 é 4\neq0, e |x+2| é contínuo, logo \dfrac{|x+2|}{x+3} é contínuo em x=1. Portanto podemos avaliar o limite ao substituir x=1:
\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}\left(-\frac{|x+2|}{x+3}\right) =-\frac{|1+2|}{1+3}=-\frac{3}{4}.
Se preferir um argumento mais elementar: para x suficientemente próximo de 1 com x<1, x+2>0 então |x+2|=x+2 e o quociente tende para -(1+2)/(1+3)=-3/4.

Resposta

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-3,1\}
\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=-\frac{3}{4}

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