As informações relevantes fornecidas são exatamente a expressão da função acima; não há outras figuras ou dados extra.
Passo 2
Vamos fatorar os polinômios que aparecem no numerador (dentro do módulo) e no denominador — isso ajuda a ver zeros e sinais. Procuramos fatores lineares:
Para o numerador x^{2}+x-2, procurar raízes é fácil por inspeção: x=1 dá 1+1-2=0 e x=-2 dá 4-2-2=0. Logo
x^{2}+x-2=(x-1)(x+2).
Para o denominador x^{2}+2x-3, testar x=1 e x=-3: 1+2-3=0 e 9-6-3=0. Assim
x^{2}+2x-3=(x-1)(x+3).
Portanto podemos reescrever f (a princípio para x\neq1) como
f(x)=\frac{\left|(x-1)(x+2)\right|}{(x-1)(x+3)}.
Passo 3
Analisando domínio: a função original tem denominador x^{2}+2x-3. Onde esse denominador é zero a função não está definida (a menos que fosse possível um cancelamento que removesse a singularidade, mas a definição original exige denominar diferente de zero). As soluções de x^{2}+2x-3=0 são x=1 e x=-3. Portanto, nenhum desses valores pertence ao domínio.
O numerador \left|x^{2}+x-2\right| está definido para todo x\in\mathbb{R}. Conclusão provisória (a confirmar mais adiante nesta resolução): o domínio é
\mathbb{R}\setminus\{-3,\,1\}.
Passo 4
Para manipular a expressão para x\neq1\) usamos propriedades do módulo. Lembrando que \(\left|ab\right|=|a||b|\) e que, para \(x\neq1\),
\[f(x)=\frac{|x-1|\,|x+2|}{(x-1)(x+3)}.
Podemos separar
f(x)=\underbrace{\frac{|x-1|}{x-1}}_{\text{fator de sinal}} \cdot \frac{|x+2|}{x+3},\qquad x\neq1.
O quociente \dfrac{|x-1|}{x-1} é a função sinal de x-1, i.e.:
(Em (x=1] não faz sentido porque divide por zero.)]
Passo 5
Assim obtemos uma expressão útil por partes (lembrando que x\neq -3\) também, por causa do denominador original):
\[f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{|x+2|}{x+3}, & x>1,\\[8pt] \displaystyle -\frac{|x+2|}{x+3}, & x<1 \\ (\text{e }x\neq -3). \end{cases}
Para simplificar ainda mais precisamos tratar o sinal de x+2\], que muda em \(x=-2. Então os intervalos críticos para sinais são x<-2, -2<x<1, e x>1. Lembre: x=-3 e x=1 estão excluídos do domínio.]
Passo 6
Queremos o comportamento quando x\to -3^{+}. Então consideramos x ligeiramente maior que -3. Esses x satisfazem
-3 < x < -2,
portanto:
x<1, então usamos a segunda linha (o fator -1) da expressão por partes;
x<-2, então x+2<0 e |x+2|=-(x+2).
Substituindo essas informações na expressão para f (válida para x\neq1) obtemos, para x\in(-3,-2) (lembrando x\neq-3):
Avaliação direta: quando x\to -3^{+} tem-se x+2\to -1 (um número finito e negativo) e x+3\to 0^{+} (tende a zero por valores positivos, pois aproximamos por valores maiores que -3). Assim o quociente tende para
\frac{\text{número negativo próximo de }-1}{\text{número positivo que vai a }0} \;\longrightarrow\; -\infty.úóú
Portanto o limite é -\infty: a função tem uma assíntota vertical em x=-3 e, ao aproximar-se por valores maiores que -3, os valores de f(x) divergem para menos infinito.