Seja
f(x)=\frac{\left|x^{2}+x-2\right|}{x^{2}+2 x-3} .
Obtenha o domínio de f.
Calcule
\lim _{x \rightarrow-3^{+}} f(x),

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\left|x^{2}+x-2\right|}{x^{2}+2x-3}
e pede duas coisas:
  • Obter o domínio de f.
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to -3^{+}} f(x).
As informações relevantes fornecidas são exatamente a expressão da função acima; não há outras figuras ou dados extra.

Passo 2

Vamos fatorar os polinômios que aparecem no numerador (dentro do módulo) e no denominador — isso ajuda a ver zeros e sinais. Procuramos fatores lineares:
Para o numerador x^{2}+x-2, procurar raízes é fácil por inspeção: x=1 1+1-2=0 e x=-2 4-2-2=0. Logo
x^{2}+x-2=(x-1)(x+2).
Para o denominador x^{2}+2x-3, testar x=1 e x=-3: 1+2-3=0 e 9-6-3=0. Assim
x^{2}+2x-3=(x-1)(x+3).
Portanto podemos reescrever f (a princípio para x\neq1) como
f(x)=\frac{\left|(x-1)(x+2)\right|}{(x-1)(x+3)}.

Passo 3

Analisando domínio: a função original tem denominador x^{2}+2x-3. Onde esse denominador é zero a função não está definida (a menos que fosse possível um cancelamento que removesse a singularidade, mas a definição original exige denominar diferente de zero). As soluções de x^{2}+2x-3=0 são x=1 e x=-3. Portanto, nenhum desses valores pertence ao domínio.
O numerador \left|x^{2}+x-2\right| está definido para todo x\in\mathbb{R}. Conclusão provisória (a confirmar mais adiante nesta resolução): o domínio é
\mathbb{R}\setminus\{-3,\,1\}.

Passo 4

Para manipular a expressão para x\neq1\) usamos propriedades do módulo. Lembrando que \(\left|ab\right|=|a||b|\) e que, para \(x\neq1\), \[f(x)=\frac{|x-1|\,|x+2|}{(x-1)(x+3)}.
Podemos separar
f(x)=\underbrace{\frac{|x-1|}{x-1}}_{\text{fator de sinal}} \cdot \frac{|x+2|}{x+3},\qquad x\neq1.
O quociente \dfrac{|x-1|}{x-1} é a função sinal de x-1, i.e.:
\frac{|x-1|}{x-1}=\begin{cases} 1, & x>1,\\[4pt] -1, & x<1. \end{cases}
(Em (x=1] não faz sentido porque divide por zero.)]

Passo 5

Assim obtemos uma expressão útil por partes (lembrando que x\neq -3\) também, por causa do denominador original): \[f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{|x+2|}{x+3}, & x>1,\\[8pt] \displaystyle -\frac{|x+2|}{x+3}, & x<1 \\ (\text{e }x\neq -3). \end{cases}
Para simplificar ainda mais precisamos tratar o sinal de x+2\], que muda em \(x=-2. Então os intervalos críticos para sinais são x<-2, -2<x<1, e x>1. Lembre: x=-3 e x=1 estão excluídos do domínio.]

Passo 6

Queremos o comportamento quando x\to -3^{+}. Então consideramos x ligeiramente maior que -3. Esses x satisfazem
-3 < x < -2,
portanto:
  • x<1, então usamos a segunda linha (o fator -1) da expressão por partes;
  • x<-2, então x+2<0 e |x+2|=-(x+2).
Substituindo essas informações na expressão para f (válida para x\neq1) obtemos, para x\in(-3,-2) (lembrando x\neq-3):
f(x) = -\frac{|x+2|}{x+3} = -\frac{-(x+2)}{x+3} = \frac{x+2}{x+3}.
Portanto, à esquerda de -2 (e à direita de -3), f(x) coincide com a função racional \dfrac{x+2}{x+3}.

Passo 7

Agora calculamos o limite pedido usando a expressão encontrada em um intervalo que contém pontos próximos a -3 pela direita:
\lim_{x\to -3^{+}} f(x) = \lim_{x\to -3^{+}} \frac{x+2}{x+3}.
Avaliação direta: quando x\to -3^{+} tem-se x+2\to -1 (um número finito e negativo) e x+3\to 0^{+} (tende a zero por valores positivos, pois aproximamos por valores maiores que -3). Assim o quociente tende para
\frac{\text{número negativo próximo de }-1}{\text{número positivo que vai a }0} \;\longrightarrow\; -\infty.úóú
Portanto o limite é -\infty: a função tem uma assíntota vertical em x=-3 e, ao aproximar-se por valores maiores que -3, os valores de f(x) divergem para menos infinito.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-3,\,1\}
\displaystyle \lim_{x\to -3^{+}} f(x) = -\infty

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