Seja
f(x)=\frac{\left|x^{2}+x-2\right|}{x^{2}+2 x-3} .
Obtenha o domínio de f.
Calcule
\lim _{x \rightarrow-3^{-}} f(x),

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{\left|x^{2}+x-2\right|}{x^{2}+2x-3}.
Pede-se:
  • Obter o domínio de f.
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\rightarrow -3^{-}} f(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é \left|x^{2}+x-2\right|, que está definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • O denominador é x^{2}+2x-3; valores de x que anulam esse polinômio não podem estar no domínio porque gerariam divisão por zero.
  • Para estudar o limite quando x\to -3^{-} será útil fatorar numerador e denominador e analisar sinais próximo a x=-3.

Passo 2

Encontrar os zeros do denominador para excluir do domínio.
Fatora-se o denominador:
x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1).
As raízes são x=-3 e x=1. Como dividir por zero é proibido, x=-3 e x=1 não pertencem ao domínio de f.
Portanto, à primeira vista o domínio é \mathbb{R}\setminus\{-3,1\}. Vou confirmar que não há outras restrições (o numerador é um valor absoluto de polinômio, definido em todos os reais), então essa é mesmo a resposta final para o domínio.

Passo 3

Para estudar o comportamento da função (especialmente perto de x=-3) é útil fatorar o numerador e simplificar quando possível.
Fatora-se o polinômio dentro do valor absoluto:
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
Então
f(x)=\frac{|(x+2)(x-1)|}{(x+3)(x-1)}\qquad\text{para }x\neq 1.
Note que, apesar de haver um fator comum (x-1) em numerador e denominador, não se pode simplesmente remover x=1 do conjunto proibido — a expressão original não está definida em x=1. Ou seja, podemos simplificar a expressão algébrica quando x\neq 1, mas o domínio continua excluindo x=1.

Passo 4

Simplificação para x\neq 1\). Usamos a identidade \[\frac{|x-1|}{x-1}=\begin{cases} 1,& x>1,\\\\ -1,& x<1. \end{cases}
Logo, para x\neq 1\], \[f(x)=\frac{|x+2|\,|x-1|}{(x+3)(x-1)}=\frac{|x+2|}{x+3}\cdot\frac{|x-1|}{x-1} =\frac{|x+2|}{x+3}\,\operatorname{sgn}(x-1).\] Isto é útil porque reduz a análise de \(f a expressões mais simples em cada intervalo relativo a -2 e 1.

Passo 5

Determinar a expressão que vale na vizinhança de x=-3 (à esquerda de -3).
Observações sobre sinais:
  • x=-3 fica no intervalo x<-2. Para x<-2 tem-se x+2<0, então |x+2|=-(x+2).
  • Para x<-3 (logo x<1) tem-se \operatorname{sgn}(x-1)=-1.
Portanto, para x<-2 (e em particular para x suficientemente próximo de -3 pela esquerda) a fórmula simplificada é
f(x)=-\frac{|x+2|}{x+3}=-\frac{-(x+2)}{x+3}=\frac{x+2}{x+3}.
Concluímos que, em qualquer intervalo que contenha pontos à esquerda de -3 e esteja dentro do domínio, f(x) coincide com \dfrac{x+2}{x+3}.

Passo 6

Calcular o limite \displaystyle \lim_{x\rightarrow -3^{-}} f(x) usando a expressão obtida para x<-2:
\lim_{x\rightarrow -3^{-}} f(x)=\lim_{x\rightarrow -3^{-}} \frac{x+2}{x+3}.
Avaliar comportamento das partes:
  • O numerador tende para (-3)+2=-1.
  • O denominador tende para (-3)+3=0. Como estamos vindo pela esquerda de -3, para x<-3 tem-se x+3<0, ou seja, o denominador tende para 0^{-} (zero pela esquerda, valores negativos muito pequenos).
Assim, aproximando-se de -3 pela esquerda, o quociente tem numerador aproximando-se de -1 (número fixo e negativo) e denominador aproximando-se de 0^{-} (negativo e com módulo tendendo a zero). Um número negativo dividido por um número negativo muito pequeno em módulo dá um número positivo com módulo muito grande. Portanto a fração cresce sem limite positivo.
Formalmente,
\lim_{x\rightarrow -3^{-}} \frac{x+2}{x+3}=+\infty.

Resposta

\displaystyle \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-3,1\} = (-\infty,-3)\cup(-3,1)\cup(1,\infty)\n
\displaystyle \lim_{x\to -3^{-}} f(x)=+\infty

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