Seja
f(x)=\frac{x^{3}+5 x-1}{\sqrt{3 x^{6}+2}}
(a) Calcule
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{3}+5 x-1}{\sqrt{3 x^{6}+2}}
e pede o limite quando x tende para +\infty, isto é:
\lim_{x\to+\infty} f(x).
Informações relevantes: x vai para +\infty (portanto x>0 suficientemente grande). Devemos encontrar o comportamento da razão entre um polinômio no numerador e uma raiz quadrada que envolve x^{6} no denominador.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando x tende para infinito, os termos de maior ordem em x dominam o comportamento da expressão. Para comparar numerador e denominador, uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece fora da raiz, ou manipular a raiz para expor essa potência. Aqui o numerador tem termo dominante x^{3} e o termo dentro da raiz tem ordem x^{6}. Vamos escrever cada parte fatorando x^{3} (no numerador) e extraindo x^{3} da raiz no denominador, e depois usar regras de limite para simplificar.

Passo 3

Dividindo e reescrevendo de forma explícita (passo algébrico):
Primeiro observe que, para x>0,
\sqrt{3x^{6}+2}=\sqrt{x^{6}}\sqrt{3+\frac{2}{x^{6}}}=x^{3}\sqrt{3+\frac{2}{x^{6}}}.
Aqui usei a propriedade \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} e que \sqrt{x^{6}}=|x^{3}|. Como x\to+\infty temos x>0 grande, então |x^{3}|=x^{3}.
Agora divido numerador e denominador por x^{3}:
f(x)=\frac{x^{3}+5x-1}{\sqrt{3x^{6}+2}} =\frac{x^{3}\left(1+\dfrac{5x}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{3}}\right)}{x^{3}\sqrt{3+\dfrac{2}{x^{6}}}} =\frac{1+\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}}{\sqrt{3+\dfrac{2}{x^{6}}}}.

Passo 4

Analisar os termos que dependem de x no numerador e no denominador:
  • Para o numerador, os termos \dfrac{5}{x^{2}} e \dfrac{1}{x^{3}} vão para 0 quando x\to+\infty, porque potências de x no denominador crescem e tornam as frações pequenas.
  • Para o denominador, o termo \dfrac{2}{x^{6}} também vai para 0 quando x\to+\infty.
Vou usar a propriedade básica de limites: se \lim_{x\to a} g(x)=L e \lim_{x\to a} h(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{g(x)}{h(x)}=\frac{L}{M}.
Aqui aplicamos essa propriedade aos limites termo a termo.

Passo 5

Tomando o limite termo a termo na expressão obtida:
\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{5}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}\right)=1+0-0=1,
e
\lim_{x\to+\infty} \sqrt{3+\frac{2}{x^{6}}}=\sqrt{3+0}=\sqrt{3},
pois a função raiz é contínua e substitui-se o limite interior pelo seu valor.
Portanto, pelo quociente dos limites,
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Comentário adicional (intuição rápida): o numerador cresce como x^{3} (termo dominante x^{3}) e o denominador cresce como \sqrt{3}\,x^{3} (porque \sqrt{3x^{6}}=\sqrt{3}\,x^{3} para x>0); então a razão tende a 1/\sqrt{3}. Isso é a forma heurística equivalente ao cálculo formal acima.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{3}}

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