Seja
(a) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o limite quando
tende para
, isto é:
Informações relevantes:
vai para
(portanto
suficientemente grande). Devemos encontrar o comportamento da razão entre um polinômio no numerador e uma raiz quadrada que envolve
no denominador.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando
tende para infinito, os termos de maior ordem em
dominam o comportamento da expressão. Para comparar numerador e denominador, uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece fora da raiz, ou manipular a raiz para expor essa potência. Aqui o numerador tem termo dominante
e o termo dentro da raiz tem ordem
. Vamos escrever cada parte fatorando
(no numerador) e extraindo
da raiz no denominador, e depois usar regras de limite para simplificar.
Passo 3
Dividindo e reescrevendo de forma explícita (passo algébrico):
Primeiro observe que, para ,
Primeiro observe que, para
Aqui usei a propriedade
e que
. Como
temos
grande, então
.
Agora divido numerador e denominador por
:
Passo 4
Analisar os termos que dependem de
no numerador e no denominador:
- Para o numerador, os termos
e vão para quando , porque potências de no denominador crescem e tornam as frações pequenas. - Para o denominador, o termo
também vai para quando .
Vou usar a propriedade básica de limites: se
e
com
, então
Aqui aplicamos essa propriedade aos limites termo a termo.
Passo 5
Tomando o limite termo a termo na expressão obtida:
e
pois a função raiz é contínua e substitui-se o limite interior pelo seu valor.
Portanto, pelo quociente dos limites,
Comentário adicional (intuição rápida): o numerador cresce como
(termo dominante
) e o denominador cresce como
(porque
para
); então a razão tende a
. Isso é a forma heurística equivalente ao cálculo formal acima.