Seja
f(x)=\frac{x^{3}+5 x-1}{\sqrt{3 x^{6}+2}}
(b) Calcule
\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\frac{x^{3}+5 x-1}{\sqrt{3 x^{6}+2}}
e pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} f(x).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita de f(x) está acima.
  • O interesse é o comportamento quando x tende a -\infty (valores muito negativos de x).

Passo 2

Estratégia (explicação didática do que faremos, passo a passo): para limites quando \lvert x\rvert é grande, normalmente dominam os termos de maior grau em x. Aqui o numerador tem termo dominante x^{3} e o radicando do denominador tem termo dominante 3x^{6}. Uma forma sistemática é fatorar a maior potência de x que aparece dentro da raiz e no numerador, reescrevendo a expressão de modo a aparecerem razões que tendem a zero. Vou mostrar isso algébrica e rigorosamente.

Passo 3

Reescrever o denominador tirando fator da raiz. Note que
\sqrt{3x^{6}+2}=\sqrt{x^{6}}\;\sqrt{3+\frac{2}{x^{6}}}.
Como \sqrt{x^{6}}=\lvert x^{3}\rvert, obtemos
\sqrt{3x^{6}+2}=\lvert x^{3}\rvert\sqrt{3+\frac{2}{x^{6}}}.
Explicação do valor absoluto: para qualquer real y, \sqrt{y^{2}}=\lvert y\rvert. Aqui y=x^{3}, por isso aparece \lvert x^{3}\rvert. Isso é importante para tratar corretamente o sinal quando x é negativo.

Passo 4

Fatorar x^{3} no numerador e usar a expressão do denominador obtida:
x^{3}+5x-1 = x^{3}\!\left(1+\frac{5}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}\right).
Portanto
f(x)=\frac{x^{3}\!\left(1+\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}\right)}{\lvert x^{3}\rvert\sqrt{3+\dfrac{2}{x^{6}}}} =\frac{x^{3}}{\lvert x^{3}\rvert}\cdot\frac{1+\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}}{\sqrt{3+\dfrac{2}{x^{6}}}}.

Passo 5

Calcular os limites dos fatores separados quando x\to -\infty.
  1. Primeiro fator: \dfrac{x^{3}}{\lvert x^{3}\rvert}. Para x<0 (e, em particular, para x\to -\infty) tem-se \lvert x^{3}\rvert=-x^{3}, logo
\frac{x^{3}}{\lvert x^{3}\rvert}=-1.
Portanto
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}}{\lvert x^{3}\rvert}=-1.
  1. Segundo fator:
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{5}{x^{2}}=0 porque x^{2}\to+\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{3}}=0.
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{2}{x^{6}}=0.
Assim
\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{5}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}\right)=1, \qquad \lim_{x\to -\infty}\sqrt{3+\frac{2}{x^{6}}}=\sqrt{3}.
Logo
\lim_{x\to -\infty}\frac{1+\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}}{\sqrt{3+\dfrac{2}{x^{6}}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 6

Combinar os limites (produto de limites, que existem): pelo que foi obtido,
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\left(\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}}{\lvert x^{3}\rvert}\right)\cdot\left(\lim_{x\to -\infty}\frac{1+\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}}{\sqrt{3+\dfrac{2}{x^{6}}}}\right) = -1\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}.
Portanto o limite é -\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

-\dfrac{1}{\sqrt{3}}

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