Seja
f(x)=\frac{3 x+1}{\sqrt{x^{2}+x-6}}
Obtenha o domínio de f.
Obtenha as assíntotas verticais e horizontais de f.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}+x-6}}
e pede duas coisas:
  • Obter o domínio de f.
  • Obter as assíntotas verticais e horizontais de f.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • O denominador é \sqrt{x^{2}+x-6}, que exige que a expressão dentro da raiz seja \emph{real não-negativa} e, por estar no denominador, \emph{estritamente positiva} (não pode ser zero).
  • A expressão quadrática do radicando é x^{2}+x-6, cuja fatoração e raízes serão úteis.

Passo 2

Entendendo a condição para o domínio: a função só está definida quando a raiz quadrada existe (parte dentro da raiz \ge 0) e o denominador não é zero. Como o denominador é \sqrt{x^{2}+x-6}, precisamos de
x^{2}+x-6>0.
Vou resolver a inequação quadrática \,x^{2}+x-6>0.

Passo 3

Resolver a quadrática: primeiro encontro as raízes da equação associada
x^{2}+x-6=0.
Fatorando,
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2).
Logo as raízes são x=-3 e x=2.

Passo 4

Analisar o sinal da quadrática. Como o coeficiente de x^{2} é positivo (parábola para cima), a expressão x^{2}+x-6 é:
  • positiva quando x<-3,
  • negativa quando -3<x<2,
  • positiva quando x>2,
    e zero exatamente em x=-3 e x=2.
Como precisamos de x^{2}+x-6>0 (estritamente maior que zero), concluímos que os x válidos são os que estão fora do intervalo fechado [-3,2].

Passo 5

Concluir o domínio a partir da análise anterior. Assim o domínio de f é
(-\infty,-3)\cup(2,\infty).
(Comentário didático rápido: resolver uma inequação quadrática geralmente passa por achar as raízes e usar um “teste de sinais” considerando que a parábola abre para cima quando o coeficiente de x^2 é positivo; por isso as regiões fora das raízes são positivas.)

Passo 6

Agora vamos às assíntotas verticais. Definição prática: um ponto x=a é assíntota vertical se a função tende para +\infty ou -\infty quando x se aproxima de a por alguma direção (ou por ambas) e a não pertence ao domínio. Aqui os pontos onde o denominador zera são x=-3 e x=2; são candidatos a assíntotas verticais porque não estão no domínio e podem causar explosão da função.

Passo 7

Analisar o limite em x\to -3. Como x só pode se aproximar de -3 vindo da esquerda (pois para x>-3 até 2 a expressão dentro da raiz é negativa e não está no domínio), consideramos o limite lateral x\to -3^{-}.
Calcular o sinal aproximado: quando x\to-3^{-},
  • o radicando x^{2}+x-6\to 0^{+} (tende a zero positivo),
  • portanto \sqrt{x^{2}+x-6}\to 0^{+},
  • o numerador tende para 3(-3)+1=-8 (valor não nulo e negativo).
Assim a fração tem numerador aproximando-se de -8 e denominador positivo muito pequeno, então
\lim_{x\to -3^{-}}f(x)=-\infty.
Isso confirma que x=-3 é uma assíntota vertical (há divergência para -\infty ao nos aproximarmos pelo domínio).

Passo 8

Analisar o limite em x\to 2. De forma análoga, x só pode se aproximar de 2 vindo da direita (pois para -3<x<2 a função não está definida). Para x\to 2^{+}:
  • x^{2}+x-6\to 0^{+}, então \sqrt{x^{2}+x-6}\to 0^{+},
  • numerador tende para 3\cdot2+1=7 (positivo e não nulo).
Logo
\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty,
e portanto x=2 é também uma assíntota vertical.

Passo 9

Agora as assíntotas horizontais. Definição prática: uma reta y=L é assíntota horizontal quando \lim_{x\to\infty}f(x)=L ou \lim_{x\to -\infty}f(x)=L. Aqui vamos calcular os dois limites nas infinitudes.

Passo 10

Limite quando x\to+\infty. Para estudar o comportamento para grandes |x| é comum dividir numerador e denominador por x de forma apropriada. Observação importante: \sqrt{x^{2}+x-6} pode reescrever-se como
\sqrt{x^{2}+x-6}=\sqrt{x^{2}\!\left(1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^{2}}\right)} =\lvert x\rvert\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^{2}}}.
Para x\to+\infty tem-se \lvert x\rvert = x. Então
f(x)=\frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}+x-6}} =\frac{3x+1}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^{2}}}} =\frac{3+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^{2}}}}.
Tomando x\to+\infty, os termos com 1/x e 1/x^{2} vão para zero, logo
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{3+0}{\sqrt{1+0-0}}=3.
Portanto há uma assíntota horizontal por +\infty: y=3.

Passo 11

Limite quando x\to -\infty. Agora para x\to -\infty tem-se \lvert x\rvert = -x. Reescrevendo como antes:
\sqrt{x^{2}+x-6}=\lvert x\rvert\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^{2}}}=(-x)\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^{2}}}
quando x é negativo grande. Então
f(x)=\frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}+x-6}} =\frac{3x+1}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^{2}}}} =\frac{-(3+\frac{1}{x})}{\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^{2}}}}.
Ao tomar x\to -\infty, novamente os termos com 1/x desaparecem e obtemos
\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\frac{3+0}{\sqrt{1+0-0}}=-3.
Portanto há uma assíntota horizontal por -\infty: y=-3.

Passo 12

Resumo dos resultados (explicações completas já dadas nos passos anteriores). As assíntotas verticais vêm dos pontos onde o radicando zera e a função diverge; as horizontais vêm dos limites nas infinitudes, obtidos dividindo por \lvert x\rvert e analisando os termos dominantes.

Resposta

\displaystyle \text{Domínio: }(-\infty,-3)\cup(2,\infty)í\n
\displaystyle \text{Assíntotas verticais: }x=-3\text{ e }x=2í\n
\displaystyle \text{Assíntotas horizontais: }y=3\text{ (quando }x\to+\infty),\;y=-3\text{ (quando }x\to-\infty)í

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