Seja
Obtenha o domínio de
.
Obtenha as assíntotas verticais e horizontais de
.
Obtenha as assíntotas verticais e horizontais de
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas:
- Obter o domínio de
. - Obter as assíntotas verticais e horizontais de
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- O denominador é
, que exige que a expressão dentro da raiz seja \emph{real não-negativa} e, por estar no denominador, \emph{estritamente positiva} (não pode ser zero). - A expressão quadrática do radicando é
, cuja fatoração e raízes serão úteis.
Passo 2
Entendendo a condição para o domínio: a função só está definida quando a raiz quadrada existe (parte dentro da raiz
) e o denominador não é zero. Como o denominador é
, precisamos de
Vou resolver a inequação quadrática
.
Passo 3
Resolver a quadrática: primeiro encontro as raízes da equação associada
Fatorando,
Logo as raízes são
e
.
Passo 4
Analisar o sinal da quadrática. Como o coeficiente de
é positivo (parábola para cima), a expressão
é:
- positiva quando
, - negativa quando
, - positiva quando
,
e zero exatamente eme .
Como precisamos de
(estritamente maior que zero), concluímos que os
válidos são os que estão fora do intervalo fechado
.
Passo 5
Concluir o domínio a partir da análise anterior. Assim o domínio de
é
(Comentário didático rápido: resolver uma inequação quadrática geralmente passa por achar as raízes e usar um “teste de sinais” considerando que a parábola abre para cima quando o coeficiente de
é positivo; por isso as regiões fora das raízes são positivas.)
Passo 6
Agora vamos às assíntotas verticais. Definição prática: um ponto
é assíntota vertical se a função tende para
ou
quando
se aproxima de
por alguma direção (ou por ambas) e
não pertence ao domínio. Aqui os pontos onde o denominador zera são
e
; são candidatos a assíntotas verticais porque não estão no domínio e podem causar explosão da função.
Passo 7
Analisar o limite em
. Como
só pode se aproximar de
vindo da esquerda (pois para
até
a expressão dentro da raiz é negativa e não está no domínio), consideramos o limite lateral
.
Calcular o sinal aproximado: quando
,
- o radicando
(tende a zero positivo), - portanto
, - o numerador tende para
(valor não nulo e negativo).
Assim a fração tem numerador aproximando-se de
e denominador positivo muito pequeno, então
Isso confirma que
é uma assíntota vertical (há divergência para
ao nos aproximarmos pelo domínio).
Passo 8
Analisar o limite em
. De forma análoga,
só pode se aproximar de
vindo da direita (pois para
a função não está definida). Para
:
-
, então , - numerador tende para
(positivo e não nulo).
Logo
e portanto
é também uma assíntota vertical.
Passo 9
Agora as assíntotas horizontais. Definição prática: uma reta
é assíntota horizontal quando
ou
. Aqui vamos calcular os dois limites nas infinitudes.
Passo 10
Limite quando
. Para estudar o comportamento para grandes
é comum dividir numerador e denominador por
de forma apropriada. Observação importante:
pode reescrever-se como
Para
tem-se
. Então
Tomando
, os termos com
e
vão para zero, logo
Portanto há uma assíntota horizontal por
:
.
Passo 11
Limite quando
. Agora para
tem-se
. Reescrevendo como antes:
quando
é negativo grande. Então
Ao tomar
, novamente os termos com
desaparecem e obtemos
Portanto há uma assíntota horizontal por
:
.
Passo 12
Resumo dos resultados (explicações completas já dadas nos passos anteriores). As assíntotas verticais vêm dos pontos onde o radicando zera e a função diverge; as horizontais vêm dos limites nas infinitudes, obtidos dividindo por
e analisando os termos dominantes.