Seja a função
(a) Calcule
e
.
(b) Calcule
e
.
(c) Verifique se
.
(b) Calcule
(c) Verifique se
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede três coisas:
(a) calcular e
;
(b) calcular e
;
(c) verificar se .
(a) calcular
(b) calcular
(c) verificar se
Informações relevantes que temos (todas vindas do enunciado):
- A função explícita
. - Precisamos de derivadas parciais de primeira e segunda ordem e comparar as mistas.
Passo 2
Conceito essencial (explicando com calma): a derivada parcial em relação a
, denotada
, é a derivada de
quando tratamos
como constante. Analogamente,
é a derivada quando tratamos
como constante.
Regrinhas que vamos usar:
- Se uma expressão é produto de funções (por ex.
), usar a regra do produto: . - Se uma expressão é uma composição (por ex.
), usar a regra da cadeia: . - Ao derivar em relação a
, trate como constante; ao derivar em relação a , trate como constante.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular
.
Primeiro, observe os termos separadamente:
- Para
: como é constante em relação a ,
- Para
: aplicar regra da cadeia. O expoente é ; (pois é constante). Logo
Somando os dois contributos,
Passo 4
Calcular
.
De novo, trate os termos separadamente.
- Para
: agora é constante e . Logo
- Para
: regra da cadeia novamente. O expoente é e (pois é constante). Assim
Somando,
Passo 5
Explicando a segunda ordem: as derivadas de segunda ordem são obtidas derivando novamente as derivadas de primeira ordem. Notação:
Ao calcular essas, continuar usando produto, cadeia e tratar a variável não derivada como constante.
Passo 6
Calcular
.
Partimos de
.
- Derivada de
em relação a : (pois é constante). - Derivada de
em relação a : aqui é constante multiplicando , então
Somando,
Passo 7
Calcular
.
Partimos de
.
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : é constante multiplicando , então
Somando,
Passo 8
Calcular
(derivar
em relação a
).
Partimos de
.
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : aplicar a regra do produto (porque depende de duas vezes: uma em e outra em ):
Somando os termos,
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 9
Calcular
(derivar
em relação a
) e comparar.
Partimos de
.
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : usar produto ( , ):
Somando,
Comparando as expressões de
e
, vemos que são idênticas. Como observação:
é combinação de polinômios e exponenciais (funções suaves), então as derivadas de segunda ordem são contínuas e a igualdade das mistas era esperada.
Resposta
(a)
,
(b) ,
,
(c) Sim,
(b)
(c) Sim,