Seja a função
f(x, y)=x^{2} y^{3}+e^{x y}
(a) Calcule f_{x} e f_{y}.
(b) Calcule f_{x x}, f_{y y} e f_{x y}.
(c) Verifique se f_{x y}=f_{y x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{2}y^{3}+e^{xy}
e pede três coisas:
(a) calcular \,f_{x} e \,f_{y};
(b) calcular \,f_{x x},\,f_{y y} e \,f_{x y};
(c) verificar se \,f_{x y}=f_{y x}.
Informações relevantes que temos (todas vindas do enunciado):
  • A função explícita \,f(x,y)=x^{2}y^{3}+e^{xy}.
  • Precisamos de derivadas parciais de primeira e segunda ordem e comparar as mistas.

Passo 2

Conceito essencial (explicando com calma): a derivada parcial em relação a x, denotada \,f_{x}, é a derivada de f quando tratamos y como constante. Analogamente, \,f_{y} é a derivada quando tratamos x como constante.
Regrinhas que vamos usar:
  • Se uma expressão é produto de funções (por ex. y\cdot e^{xy}), usar a regra do produto: \dfrac{d}{dt}(u(t)v(t))=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
  • Se uma expressão é uma composição (por ex. e^{xy}), usar a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}e^{g(t)}=e^{g(t)}\cdot g'(t).
  • Ao derivar em relação a x, trate y como constante; ao derivar em relação a y, trate x como constante.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular \,f_{x}.
Primeiro, observe os termos separadamente:
x^{2}y^{3}\quad\text{e}\quad e^{xy}.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y^{3}\big): como y^{3} é constante em relação a x,
\dfrac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y^{3}\big)=2x\;y^{3}.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x}\big(e^{xy}\big): aplicar regra da cadeia. O expoente é g(x)=xy; \dfrac{d}{dx}(xy)=y (pois y é constante). Logo
\dfrac{\partial}{\partial x}\big(e^{xy}\big)=e^{xy}\cdot y = y\,e^{xy}.
Somando os dois contributos,
f_{x}=2x\,y^{3}+y\,e^{xy}.

Passo 4

Calcular \,f_{y}.
De novo, trate os termos separadamente.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{3}\big): agora x^{2} é constante e \dfrac{d}{dy}(y^{3})=3y^{2}. Logo
\dfrac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{3}\big)=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial y}\big(e^{xy}\big): regra da cadeia novamente. O expoente é xy e \dfrac{d}{dy}(xy)=x (pois x é constante). Assim
\dfrac{\partial}{\partial y}\big(e^{xy}\big)=e^{xy}\cdot x = x\,e^{xy}.
Somando,
f_{y}=3x^{2}y^{2}+x\,e^{xy}.

Passo 5

Explicando a segunda ordem: as derivadas de segunda ordem são obtidas derivando novamente as derivadas de primeira ordem. Notação:
f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(f_{x}\big),\qquad f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(f_{y}\big),\qquad f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(f_{x}\big).
Ao calcular essas, continuar usando produto, cadeia e tratar a variável não derivada como constante.

Passo 6

Calcular \,f_{x x}.
Partimos de \,f_{x}=2x\,y^{3}+y\,e^{xy}.
  • Derivada de 2x\,y^{3} em relação a x: 2y^{3} (pois y^{3} é constante).
  • Derivada de y\,e^{xy} em relação a x: aqui y é constante multiplicando e^{xy}, então \dfrac{\partial}{\partial x}\big(y\,e^{xy}\big)=y\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}\big(e^{xy}\big)=y\cdot (y\,e^{xy})=y^{2}e^{xy}.
Somando,
f_{x x}=2y^{3}+y^{2}e^{xy}.

Passo 7

Calcular \,f_{y y}.
Partimos de \,f_{y}=3x^{2}y^{2}+x\,e^{xy}.
  • Derivada de 3x^{2}y^{2} em relação a y: 3x^{2}\cdot 2y=6x^{2}y.
  • Derivada de x\,e^{xy} em relação a y: x é constante multiplicando e^{xy}, então \dfrac{\partial}{\partial y}\big(x\,e^{xy}\big)=x\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}\big(e^{xy}\big)=x\cdot (x\,e^{xy})=x^{2}e^{xy}.
Somando,
f_{y y}=6x^{2}y+x^{2}e^{xy}.

Passo 8

Calcular \,f_{x y} (derivar f_{x} em relação a y).
Partimos de \,f_{x}=2x\,y^{3}+y\,e^{xy}.
  • Derivada de 2x\,y^{3} em relação a y: 2x\cdot 3y^{2}=6x\,y^{2}.
  • Derivada de y\,e^{xy} em relação a y: aplicar a regra do produto (porque depende de y duas vezes: uma em y e outra em e^{xy}): \dfrac{\partial}{\partial y}\big(y\,e^{xy}\big)=1\cdot e^{xy}+y\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}\big(e^{xy}\big) =e^{xy}+y\cdot(x\,e^{xy})=e^{xy}+x y\,e^{xy}.
Somando os termos,
f_{x y}=6x\,y^{2}+e^{xy}+x y\,e^{xy}.
Podemos fatorar e^{xy} se quisermos:
f_{x y}=6x\,y^{2}+e^{xy}(1+xy).

Passo 9

Calcular \,f_{y x} (derivar f_{y} em relação a x) e comparar.
Partimos de \,f_{y}=3x^{2}y^{2}+x\,e^{xy}.
  • Derivada de 3x^{2}y^{2} em relação a x: 3\cdot 2x\;y^{2}=6x\,y^{2}.
  • Derivada de x\,e^{xy} em relação a x: usar produto ( u=x, v=e^{xy}): \dfrac{\partial}{\partial x}\big(x\,e^{xy}\big)=1\cdot e^{xy}+x\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}\big(e^{xy}\big) =e^{xy}+x\cdot(y\,e^{xy})=e^{xy}+x y\,e^{xy}.
Somando,
f_{y x}=6x\,y^{2}+e^{xy}+x y\,e^{xy}=6x\,y^{2}+e^{xy}(1+xy).
Comparando as expressões de f_{x y} e f_{y x}, vemos que são idênticas. Como observação: f é combinação de polinômios e exponenciais (funções suaves), então as derivadas de segunda ordem são contínuas e a igualdade das mistas era esperada.

Resposta

(a) \,f_{x}=2x\,y^{3}+y\,e^{xy}, \;f_{y}=3x^{2}y^{2}+x\,e^{xy}
(b) \,f_{x x}=2y^{3}+y^{2}e^{xy}, \;f_{y y}=6x^{2}y+x^{2}e^{xy}, \;f_{x y}=6x\,y^{2}+e^{xy}(1+xy)
(c) Sim, \;f_{x y}=f_{y x}=6x\,y^{2}+e^{xy}(1+xy)