Seja a hipérbole de equação x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1. Dê as equações paramétricas do ramo desta hipérbole que intersecta o semi-eixo positivo O X. Como são as equações paramétricas desse ramo, expressando uma variável em função da outra?

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole \,x^{2}-\dfrac{y^{2}}{9}=1\, e pede:
  • as equações paramétricas do ramo dessa hipérbole que intersecta o semi-eixo positivo O X;
  • as equações paramétricas desse ramo expressando uma variável em função da outra.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é \,x^{2}-\dfrac{y^{2}}{9}=1.
  • Os vértices ficam em x=\pm1 (pois \,a^{2}=1 e \,b^{2}=9); portanto o ramo que intersecta o semi-eixo positivo OX é o ramo direito, com x\ge 1.
  • O que se deseja: uma parametrização (uma maneira de escrever x e y em função de um parâmetro) que percorra este ramo direito, e também uma forma onde uma variável aparece explicitamente como função da outra.

Passo 2

Observação geométrica e domínio do ramo direito.
  • Reescrevendo a equação como \,\dfrac{x^{2}}{1}-\dfrac{y^{2}}{3^{2}}=1\,, tem-se a^{2}=1 e b^{2}=9.
  • Os pontos da hipérbole satisfazem \,x^{2}\ge1, então para o ramo direito vale \,x\ge1.
  • Em particular a hipérbole intersecta o semi-eixo positivo OX no ponto (1,0). O ramo direito é o conjunto de pontos com x\ge1 que satisfazem a equação.

Passo 3

Parametrização usando a identidade hiperbólica (método clássico).
  • Lembrete: as funções hiperbólicas satisfazem a identidade fundamental
\operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1,
para todo t\in\mathbb{R}. Essa identidade tem exatamente a mesma forma da equação da hipérbole padrão \,u^{2}-v^{2}=1.
  • Assim, uma substituição natural é tomar x=\operatorname{cosh} t e uma coordenada proporcional a \operatorname{sinh} t para y. Como na equação temos \dfrac{y^{2}}{9}, escolhemos
x=\operatorname{cosh} t,\qquad y=3\operatorname{sinh} t.
  • Verificação direta: substituindo na equação,
x^{2}-\dfrac{y^{2}}{9}=\operatorname{cosh}^{2}t-\dfrac{(3\operatorname{sinh} t)^{2}}{9}=\operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1,
logo a parametrização satisfaz a equação.
  • Intervalo do parâmetro: \operatorname{cosh} t\ge1 para todo t\in\mathbb{R}, portanto \,x=\operatorname{cosh} t\ge1 e essa parametrização percorre exatamente o ramo direito (todos os valores x\ge1 aparecem para algum t). O parâmetro t varia em \mathbb{R} para percorrer todo o ramo direito; sinais de y aparecem automaticamente porque \operatorname{sinh} t é positivo para t>0 e negativo para t<0.
  • Conclusão: uma parametrização conveniente do ramo que intersecta o semi-eixo positivo OX é
x=\operatorname{cosh} t,\qquad y=3\operatorname{sinh} t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Parametrização elementar usando x como parâmetro (forma explícita y(x)).
  • Outra forma muito simples (mais elementar) é usar x como parâmetro: seja o parâmetro u=x. Para o ramo direito temos u\ge1.
  • Da equação \,x^{2}-\dfrac{y^{2}}{9}=1\, isolamos y:
\dfrac{y^{2}}{9}=x^{2}-1 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=9\bigl(x^{2}-1\bigr).
  • Portanto
y=\pm 3\sqrt{x^{2}-1}.
  • Interpretando como parametrização: tomando o parâmetro t\ge1 e escrevendo x=t, obtemos duas parametrizações (uma para a parte superior do ramo e outra para a inferior):
x=t,\quad y=3\sqrt{t^{2}-1},\qquad t\ge1
e
x=t,\quad y=-3\sqrt{t^{2}-1},\qquad t\ge1.
  • Juntando as duas (ou escrevendo com \pm) obtemos a forma explícita que relaciona y e x no ramo direito:
y=\pm 3\sqrt{x^{2}-1},\qquad x\ge1.
Essa expressão é a descrição do ramo direito como gráfico (duas curvas, superior e inferior, que juntas formam o ramo).

Passo 5

Comentário sobre cobertura do ramo e escolha da parametrização.
  • A parametrização hiperbólica x=\operatorname{cosh} t,\\ y=3\operatorname{sinh} t,\\ t\in\mathbb{R} é conveniente porque produz cada ponto do ramo direito exatamente uma vez (cada t dá um único ponto) e lida naturalmente com a continuidade através do vértice (1,0).
  • A parametrização com x como parâmetro é a forma explícita y=\pm3\sqrt{x^{2}-1}, útil quando se quer expressar y em função de x. Para percorrer todo o ramo direito é preciso admitir ambos os sinais \pm (ou usar duas parametrizações separadas para as partes superior e inferior).

Resposta

x=\operatorname{cosh} t,\; y=3\operatorname{sinh} t,\; t\in\mathbb{R}.
x=t,\; y=\pm 3\sqrt{t^{2}-1},\; t\ge1.

Exercícios relacionados