Seja a hipérbole de equação
. Dê as equações paramétricas do ramo desta hipérbole que intersecta o semi-eixo positivo
. Como são as equações paramétricas desse ramo, expressando uma variável em função da outra?
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e pede:
- as equações paramétricas do ramo dessa hipérbole que intersecta o semi-eixo positivo
; - as equações paramétricas desse ramo expressando uma variável em função da outra.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é
. - Os vértices ficam em
(pois e ); portanto o ramo que intersecta o semi-eixo positivo é o ramo direito, com . - O que se deseja: uma parametrização (uma maneira de escrever
e em função de um parâmetro) que percorra este ramo direito, e também uma forma onde uma variável aparece explicitamente como função da outra.
Passo 2
Observação geométrica e domínio do ramo direito.
- Reescrevendo a equação como
, tem-se e . - Os pontos da hipérbole satisfazem
, então para o ramo direito vale . - Em particular a hipérbole intersecta o semi-eixo positivo
no ponto . O ramo direito é o conjunto de pontos com que satisfazem a equação.
Passo 3
Parametrização usando a identidade hiperbólica (método clássico).
- Lembrete: as funções hiperbólicas satisfazem a identidade fundamental
para todo
. Essa identidade tem exatamente a mesma forma da equação da hipérbole padrão
.
- Assim, uma substituição natural é tomar
e uma coordenada proporcional a para . Como na equação temos , escolhemos
- Verificação direta: substituindo na equação,
logo a parametrização satisfaz a equação.
- Intervalo do parâmetro:
para todo , portanto e essa parametrização percorre exatamente o ramo direito (todos os valores aparecem para algum ). O parâmetro varia em para percorrer todo o ramo direito; sinais de aparecem automaticamente porque é positivo para e negativo para . - Conclusão: uma parametrização conveniente do ramo que intersecta o semi-eixo positivo
é
Passo 4
Parametrização elementar usando
como parâmetro (forma explícita
).
- Outra forma muito simples (mais elementar) é usar
como parâmetro: seja o parâmetro . Para o ramo direito temos . - Da equação
isolamos :
- Portanto
- Interpretando como parametrização: tomando o parâmetro
e escrevendo , obtemos duas parametrizações (uma para a parte superior do ramo e outra para a inferior):
e
- Juntando as duas (ou escrevendo com
) obtemos a forma explícita que relaciona e no ramo direito:
Essa expressão é a descrição do ramo direito como gráfico (duas curvas, superior e inferior, que juntas formam o ramo).
Passo 5
Comentário sobre cobertura do ramo e escolha da parametrização.
- A parametrização hiperbólica
é conveniente porque produz cada ponto do ramo direito exatamente uma vez (cada dá um único ponto) e lida naturalmente com a continuidade através do vértice . - A parametrização com
como parâmetro é a forma explícita , útil quando se quer expressar em função de . Para percorrer todo o ramo direito é preciso admitir ambos os sinais (ou usar duas parametrizações separadas para as partes superior e inferior).